158 Chap. 7. Séries entières
En multipliant le numérateur et le dénominateur par le produit
2·4 · · · (2n − 2)(2n − 1)(2n) = 2
n n!(2n − 1), on peut encore écrire
f (x) =
√
2
1 −
+∞
n=1
(2n)!
(2n − 1)2 3n (n!) 2 x
n
.
Exercice 7.8
Développer en série entière la fonction f : x → cos(x + 1) et préciser le rayon
de convergence.
On écrit f (x) = cos x cos 1 − sin x sin 1 , d’où l’on déduit, pour tout x réel, puisque
les séries sont de rayon de convergence infini,
f (x) = cos 1
+∞
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
− sin 1
+∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
.
On a donc
cos(x + 1) =
+∞
n=0
a n x
n , avec a 2n = (−1)
n cos 1
(2n)!
et a 2n+1 = (−1)
n+1 sin 1
(2n + 1)!
.
Exercice 7.9
CCP MP 2006
Soit f la fonction définie sur R \ {−1, 2} par f (x) =
1
−x 2 + x + 2
.
1)Vérifier que, pour tout x ∈ R \ {−1, 2}, on a f (x) =
1
3
1
1 + x
+
1
2 − x
.
2)Développer la fonction f en série entière et préciser le rayon de convergence.
3)Quel est le développement limité de f à l’ordre 3 au voisinage de 0 ?
1) On vérifie facilement en réduisant au même dénominateur ou en décomposant la
fraction rationnelle en éléments simples que
f (x) =
1
3
1
1 + x
+
1
2 − x
=
1
3
1
1 + x
+
1
2
1
1 − x/2
.
2) Il apparaît la somme de deux séries géométriques, la première de rayon de convergence 1 et la seconde de rayon de convergence 2. Il en résulte que la somme aura 1
comme rayon de convergence. Alors, pour |x| < 1,
f (x) =
1
3
+∞
n=0
(−1)
n x
n +
1
2
+∞
n=0
x
n
2 n
=
1
3
+∞
n=0
(−1)
n +
1
2 n+1
x
n .