7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 157
ch x =
+∞
n=0
x
2n
(2n)!
; sh x =
+∞
n=0
x
2n+1
(2n + 1)!
cos x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
; sin x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
.
(ii) Les fonctions suivantes sont développables en série entière sur ] −1, 1 [ et
l’on a, pour tout x ∈ ] −1, 1 [ ,
ln(1 − x) = −
+∞
n=1
x
n
n
; ln(1 + x) =
+∞
n=1
(−1)
n+1 x
n
n
.
(iii) Série du binôme.
Soit a ∈ R \ N. On a, pour tout x ∈ ] −1, 1 [ ,
(1 + x)
a = 1 +
+∞
n=1
a(a − 1) · · · (a − n + 1)
n!
x
n .
(iv) On pourra retenir aussi que, pour tout x ∈ ] −1, 1 [ , on a
Arctan x =
+∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
;
1
2
ln
1 + x
1 − x
= argth x =
+∞
n=0
x
2n+1
2n + 1
.
• Quelques méthodes pour développer une fonction f en série entière
(i) On exprime la fonction f à l’aide de fonctions dont le développement en série
entière est connu, par des opérations de somme, produit de Cauchy, dérivation ou
primitivation, en utilisant éventuellement un changement de variable.
Lorsque la fonction f contient un sinus, cosinus, sinus hyperbolique ou cosinus
hyperbolique, on pourra exprimer ces fonctions sous forme exponentielle.
(ii) On montre que f est solution d’une équation différentielle linéaire, puis on
cherche la solution de cette équation développable en série entière et vérifiant les
mêmes conditions initiales que f .
Exercice 7.7
Développer en série entière la fonction f : x → f (x) =
√
2 − x et préciser le
rayon de convergence.
Pour x < 2, on a f (x) =
√
2
1 −
x
2
1/2
. On se ramène donc à la série du binôme
et on obtient une série entière de rayon de convergence 2.
f (x) =
√
2
1 +
+∞
n=1
1
2
1
2 − 1
· · ·
1
2 − n + 1
n!
1
2 n (−1)
n x
n
=
√
2
1 −
+∞
n=1
1·3 · · · (2n − 3)
2 2n n!
x
n
.
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