156 Chap. 7. Séries entières
La série entière
x
n est une série géométrique de rayon 1. Comme [ 0, 1/2 ] est
inclus dans ] −1, 1 [ , on a donc
ln 2 =
1/2
0
+∞
n=0
x
n
d x =
+∞
n=0
1/2
0
x
n dx
=
+∞
n=0
1
2 n+1 (n + 1)
.
7.1.3 Développement d’une fonction en série entière
Ce qu’il faut savoir
• Fonctions développables en série entière
Soient f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur un intervalle I ,
et r un nombre réel positif tel que ] −r , r [ ⊂ I .
– On dit que f est développable en série entière sur ] −r , r [ lorsqu’il existe
une série entière
a n x
n de rayon de convergence R r telle que, pour tout
x ∈ ] −r, r [ , on ait f (x) =
+∞
n=0
a n x
n .
– Dans ce cas, la fonction f est de classe C
∞ sur ] −r , r [ , et les coefficients a n
sont déterminés de manière unique par la formule a n =
f
(n) (0)
n!
.
Remarque
Toute fonction de classe C
∞ sur ] −r , r [ n’est pas nécessairement développable en série entière sur ] −r , r [ .
– Si f est développable en série entière sur ] −r , r [ , alors :
(i ) la fonction f
est développable en série entière sur ] −r, r [ , et, pour tout
x ∈ ] −r, r [ , on a f
(x) =
+∞
n=0
(n + 1)a n+1 x
n ;
(ii) toute primitive F de f dans l’intervalle ] −r , r [ admet un développement
en série entière sur ] −r , r [ de la forme F(x) = F(0) +
+∞
n=1
a n−1
n
x
n .
– Si f et g sont développables en série entière sur ] −r , r [ , alors f + g et f g
sont développables en série entière sur ] −r, r [ .
• Développement en série entière des fonctions usuelles
(i) Les fonctions suivantes sont développables en série entière sur R et, pour tout
x ∈ R, on a
e
xz =
+∞
n=0
(xz)
n
n!
où z ∈ C