7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 155
• La série entière
a n x
n de la variable réelle x converge normalement sur tout
segment [ a, b ] inclus dans ] −R, R [ et l’on a
b
a
+∞
n=0
a n x
n
dx =
+∞
n=0
b
a
a n x
n dx
.
• On définit sur ] −R, R [ une fonction S en posant S(x) =
+∞
n=0
a n x
n .
La fonction S est de classe C
∞ sur ] −R, R [ et, en dérivant terme à terme, on a,
pour tout k ∈ N et tout x ∈ ] −R, R [
S
(k) (x) =
+∞
n=k
n(n − 1) · · · (n − k + 1)a n x
n−k =
+∞
n=0
(n + k)!
n!
a n+k x
n .
Toutes ces séries entières ont le même rayon R.
Exercice 7.5
CCP PSI 2007
Montrer que la fonction g : t →
+∞
n=0
(−1)
n t
n
2 2n (n!) 2 est de classe C
∞ sur R.
On peut comparer à la série de l’exponentielle, en remarquant que pour tout n 0,
on a
1
2 2n (n!) 2
1
n!
. Il en résulte que la série entière définissant g a aussi un rayon
de convergence infini. (On pourrait également utiliser la règle de d’Alembert).
Il en résulte que g est définie et de classe C
∞ sur R.
Remarque
On voit sur cet exemple l’intérêt d’utiliser les séries entières plutôt que les séries
de fonctions : si l’on avait voulu démontrer, dans le chapitre précédent, que la série
de fonctions de terme général u n (t) =
(−1)
n t
n
2 2n (n!) 2 était de classe C
∞ sur R, on aurait
démontré que, pour tout entier p et tout nombre A > 0, la série des dérivées u
( p)
n
converge normalement sur [ −A, A ] , alors que maintenant, le fait que la série
entière ait un rayon de convergence infini suffit.
Exercice 7.6
CCP MP 2006
Montrer que
1/2
0
+∞
n=0
x
n
dx =
+∞
n=0
1
2 n+1 (n + 1)
.
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