154 Chap. 7. Séries entières
Exercice 7.4
1) Montrer que si la série entière
a n z
n est de rayon de convergence R > 0,
alors la série entière
a n z
2n est de rayon de convergence
√
R.
2) Soient R 1 et R 2 les rayons de convergence respectifs des séries
a 2n z
n
et
a 2n+1 z
n . Montrer que le rayon de convergence R de la série entière
a n z
n vaut min(
R 1 ,
R 2 ), et que, si |z| < R, on a
+∞
n=0
a n z
n =
+∞
n=0
a 2n z
2n +
+∞
n=0
a 2n+1 z
2n+1 .
1) La série de terme général a n z
n converge si |z| < R et diverge si |z| > R. Donc
la série de terme général a n (z
2 )
n converge si |z|
2 < R, c’est-à-dire si |z| <
√
R et
diverge si |z|
2 > R, c’est-à-dire si |z| >
√
R. Le rayon de convergence de la série
entière
a n z
2n est donc
√
R.
2) D’après 1), la série
a 2n z
2n est de rayon de convergence
R 1 , et la série
a 2n+1 z
2n est de rayon de convergence
R 2 , donc la série z
a 2n+1 z
2n est aussi
de rayon de convergence
R 2 .
Alors, lorsque R 1 = R 2 , la série
a n z
n qui est la somme des séries
a 2n z
2n et
z
a 2n+1 z
2n est de rayon de convergence min(
R 1 ,
R 2 ).
Lorsque R 1 = R 2 , on sait déjà que R
R 1 .
Soit alors |z| >
R 1 . La suite (a 2n z
2n ) ne converge pas vers 0. Alors la suite (a n z
n )
ne converge pas non plus vers 0, et il en résulte que R
R 1 . On a donc encore
égalité dans ce cas, et pour tout |z| < R,
+∞
n=0
a n z
n =
+∞
n=0
a 2n z
2n +
+∞
n=0
a 2n+1 z
2n+1 .
7.1.2 Fonction définie par la somme d’une série entière
Ce qu’il faut savoir
Soit une série entière de coefficients a n et de rayon de convergence non nul R.
• La série entière
a n z
n de la variable complexe z converge normalement sur
tout compact inclus dans le disque ouvert D = {z ∈ C | |z| < R} et la fonction
S définie sur D par S(z) =
+∞
n=0
a n z
n est une fonction continue sur D.