7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 153
Exercice 7.2
TPE 2006
Déterminer le rayon et le domaine de convergence de chacune des séries entières
suivantes :
a)
n!z
n
b)
n!z
n
2
c)
z
n!
a) Posons a n = n!, on a a n+1 /a n = n+1. La suite (a n+1 /a n ) a pour limite +∞. D’après
le critère de d’Alembert on a R = 0. Le domaine de convergence est donc {0}.
b) Posons u n (z) = n!z
n
2
. Alors
|u n+1 (z)|
|u n (z)|
= (n + 1)|z|
2n+1 .
On utilise la règle de d’Alembert pour la série numérique de terme général u n (z). La
suite (|u n+1 (z)|/|u n (z)|) converge vers 0 si |z| < 1, donc la série de terme général u n (z) converge absolument dans ce cas. On en déduit que R 1. La suite
(|u n+1 (z)|/|u n (z)|) admet +∞ pour limite si |z| > 1, donc la série ne converge pas
absolument dans ce cas. On en déduit que R 1. Finalement on obtient R = 1.
Lorsque |z| = 1, on a |u n (z)| = n!, et la suite (u n (z)) ne converge pas vers 0,
donc la série de terme général u n (z) diverge. Alors le domaine de convergence est
{z ∈ C | |z| < 1}.
c) Posons u n (z) = z
n! . On a
|u n+1 (z)|
|u n (z)|
= |z|
(n+1)!−n! = |z|
nn! . Et l’on conclut comme
dans b.
Voilà un résultat à connaître, c’est la première question de nombreux problèmes
d’écrit et d’exercices d’oraux
Exercice 7.3
CCP PC 2006, Centrale MP 2006
Soit
a n z
n une série entière de rayon de convergence R > 0. Montrer que le
rayon de convergence de la série entière
a n
n!
z
n est infini.
Soient a ∈ R tel que 0 < a < R, et z ∈ C . La suite (|a n |a
n ) est bornée. Soit M un
majorant de cette suite. On a alors
|a n |
n!
|z|
n
M
1
n!
|z|
a
n
Et comme la série de
terme général
1
n!
|z|
a
n
est une série convergente (série de l’exponentielle), on en
déduit que la série de terme général a n z
n /n! converge absolument. La série entière
a n
n!
z
n a donc un rayon de convergence infini.
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