152 Chap. 7. Séries entières
a) Pour tout n ∈ N, on a |a n | 1. Le rayon de convergence de la série entière est
donc supérieur ou égal à celui de la série géométrique
x
n . Donc R 1.
Par ailleurs, on montre par l’absurde que la suite (a n ) ne converge pas vers 0. Si
c’était le cas alors, il résulterait de l’égalité a n+1 − a n−1 = 2 sin 1 cos n que la suite
(cos n) convergerait aussi vers 0, et donc que la suite (cos
2 n + sin
2 n) convergerait
vers 0, ce qui n’est pas possible.
On en déduit que R 1. Finalement on a R = 1. La série converge absolument et
converge si |x| < 1, elle ne converge pas et ne converge pas absolument si |x| 1.
Alors A = C = ] −1, 1 [ .
b) On a ln
1 +
1
n
∼
1
n
, et la série entière étudiée a même rayon de convergence
que la série entière
x
n
n
, qui est de rayon de convergence 1. La série converge
absolument et converge si |x| < 1, elle ne converge pas et ne converge pas absolument si |x| > 1.
Lorsque x = 1, il résulte de l’équivalent précédent que la série de terme général
ln(1 + 1/n) diverge par comparaison à la série harmonique.
Lorsque x = −1, il résulte de la croissance de la fonction logarithme que la suite
(ln(1 + 1/n)) est décroissante. Par ailleurs puisqu’elle est équivalente à (1/n), la suite
(ln(1 + 1/n)) converge vers 0. Alors il résulte du critère de Leibniz que la série de
terme général (−1)
n ln(1 + 1/n) converge, mais elle ne converge pas absolument.
Donc A = ] −1, 1 [ et C = [ −1, 1 [ .
c) On a |a n | < 1. La série entière
a n x
n a donc un rayon de convergence supérieur
ou égal à celui de la série
x
n , donc R 1. Par ailleurs, la suite (|a n |) converge
vers 1, donc ne converge pas vers 0. On en déduit donc que R 1. Finalement
R = 1.
La série converge absolument et converge si |x| < 1, elle ne converge pas et ne
converge pas absolument si |x| 1. Alors A = C = ] −1, 1 [ .
d) Lorsque n tend vers l’infini, on a sin
1
n 2 ∼
1
n 2 , et donc
|a n+1 |
|a n |
∼
n
2
(n + 1) 2 . Donc
la suite (|a n+1 |/|a n |) converge vers = 1. Il résulte du critère de d’Alembert que
R = 1// = 1. La série converge absolument et converge si |x| < 1, elle ne converge
pas et ne converge pas absolument si |x| > 1.
Lorsque |x| = 1 et n 1, on a |a n x
n
| = sin
1
n 2 ∼
1
n 2 et la série de terme
général a n x
n converge absolument par comparaison à une série de Riemann. Alors
A = C = [ −1, 1 ] .
a) Pour tout n ∈ N, on a |a n | 1. Le rayon de convergence de la série entière est
donc supérieur ou égal à celui de la série géométrique
x
n . Donc R 1.
Par ailleurs, on montre par l’absurde que la suite (a n ) ne converge pas vers 0. Si
c’était le cas alors, il résulterait de l’égalité a n+1 − a n−1 = 2 sin 1 cos n que la suite
(cos n) convergerait aussi vers 0, et donc que la suite (cos
2 n + sin
2 n) convergerait
vers 0, ce qui n’est pas possible.
On en déduit que R 1. Finalement on a R = 1. La série converge absolument et
converge si |x| < 1, elle ne converge pas et ne converge pas absolument si |x| 1.
Alors A = C = ] −1, 1 [ .
b) On a ln
1 +
1
n
∼
1
n
, et la série entière étudiée a même rayon de convergence
que la série entière
x
n
n
, qui est de rayon de convergence 1. La série converge
absolument et converge si |x| < 1, elle ne converge pas et ne converge pas absolument si |x| > 1.
Lorsque x = 1, il résulte de l’équivalent précédent que la série de terme général
ln(1 + 1/n) diverge par comparaison à la série harmonique.
Lorsque x = −1, il résulte de la croissance de la fonction logarithme que la suite
(ln(1 + 1/n)) est décroissante. Par ailleurs puisqu’elle est équivalente à (1/n), la suite
(ln(1 + 1/n)) converge vers 0. Alors il résulte du critère de Leibniz que la série de
terme général (−1)
n ln(1 + 1/n) converge, mais elle ne converge pas absolument.
Donc A = ] −1, 1 [ et C = [ −1, 1 [ .
c) On a |a n | < 1. La série entière
a n x
n a donc un rayon de convergence supérieur
ou égal à celui de la série
x
n , donc R 1. Par ailleurs, la suite (|a n |) converge
vers 1, donc ne converge pas vers 0. On en déduit donc que R 1. Finalement
R = 1.
La série converge absolument et converge si |x| < 1, elle ne converge pas et ne
converge pas absolument si |x| 1. Alors A = C = ] −1, 1 [ .
d) Lorsque n tend vers l’infini, on a sin
1
n 2 ∼
1
n 2 , et donc
|a n+1 |
|a n |
∼
n
2
(n + 1) 2 . Donc
la suite (|a n+1 |/|a n |) converge vers = 1. Il résulte du critère de d’Alembert que
R = 1// = 1. La série converge absolument et converge si |x| < 1, elle ne converge
pas et ne converge pas absolument si |x| > 1.
Lorsque |x| = 1 et n 1, on a |a n x
n
| = sin
1
n 2 ∼
1
n 2 et la série de terme
général a n x
n converge absolument par comparaison à une série de Riemann. Alors
A = C = [ −1, 1 ] .