7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 151
• Deux séries de référence
Série géométrique Soit l ∈ C
∗ . La série entière
l
n z
n a pour rayon
de convergence R = 1/|l| et, pour tout z ∈ C, tel que |z| < 1/|l|, on a
+∞
n=0
l
n z
n =
1
1 − lz
.
Série exponentielle La série entière de terme général z
n /n! a pour rayon de
convergence R = +∞ et, pour tout z ∈ C, on a
+∞
n=0
z
n
n!
= e
z .
• Rayon de convergence de la somme de deux séries entières
Soient
a n z
n et
b n z
n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R a et R b . Le rayon de convergence R de la série entière
(a n + b n )z
n est tel
que
R = min(R a , R b ) si R a = R b
R R a
si R a = R b
et si |z| < min(R a , R b ), on a alors
+∞
n=0
(a n + b n )z
n =
+∞
n=0
a n z
n +
+∞
n=0
b n z
n .
• Rayon de convergence du produit de Cauchy de deux séries entières
Le rayon de convergence R de la série entière produit, de coefficients
n
k=0
a k b n−k ,
est tel que R min(R a , R b ) , et, si |z| < min(R a , R b ),
on a alors,
+∞
n=0
n
k=0
a k b n−k
z
n =
+∞
n=0
a n z
n
+∞
n=0
b n z
n
.
• Série dérivée et série primitive d’une série entière
On appelle série primitive (resp. dérivée ) de la série entière
a n z
n la série
entière
a n−1
n
z
n (resp.
(n + 1)a n+1 z
n ).
Ces trois séries entières ont le même rayon de convergence.
Exercice 7.1
CCP MP 2006 et Mines - Ponts MP 2006 et 2005
Déterminer le rayon de convergence R, l’ensemble C (resp. A ) des nombres
réels pour lesquels la série entière
a n x
n converge (resp. converge absolument) dans les quatre cas suivants :
a) a n = sin n ; b) a n = ln
1 +
1
n
; c) a n =
i
n n
2
n 2 + 1
; d) a n = sin
1
n 2 .
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