150 Chap. 7. Séries entières
• Résultats pratiques pour déterminer le rayon de convergence
1) Règle de d’Alembert pour les séries entières
Soit
a n z
n une série entière. Si
(i ) il existe n 0 ∈ N tel que, pour tout n n 0 , on ait a n = 0
(ii) la suite (|a n+1 |/|a n |) tend vers ∈ [ 0, +∞ ] ,
alors le rayon de convergence de la série entière
a n z
n est R = 1//, avec la
convention 1/0 = +∞ et 1/ + ∞ = 0.
Remarque
On ne peut pas appliquer directement la règle de d’Alembert telle qu’on vient
de la citer, à des séries entières dites lacunaires c’est-à-dire où une infinité de
termes a n s’annulent.
Cependant dans le cas de série du type
b n z
p n où ( p n ) est une suite strictement croissante de nombres entiers positifs et (b n ) est une suite de nombres
complexes non nuls, on pourra essayer d’appliquer la règle de d’Alembert à la
série numérique de terme général u n (z) = b n z
p n . Nous allons voir plusieurs
exemples dans les exercices .
Mise en garde
– La règle de d’Alembert n’est pas toujours applicable, par exemple lorsque la
suite (|a n+1 |/|a n |) n’a pas de limite.
– Le fait que la série entière
a n z
n a pour rayon de convergence R n’implique
pas que la suite
|a n+1 |/|a n |
converge vers 1/R.
2) Comparaison des rayons de convergence de deux séries entières
Cette méthode est très utile. En effet, elle permet de se ramener à des séries
entières dont on connaît déjà le rayon de convergence ou auxquelles on peut,
par exemple, appliquer la règle de d’Alembert.
Plus précisément, soient
a n z
n et
b n z
n deux séries entières de rayons de
convergence respectifs R a et R b .
– La série entière
|a n |z
n a pour rayon de convergence R a ; autrement dit,
les séries entières
a n z
n et
|a n |z
n ont même rayon de convergence .
– Si |a n | ∼ |b n |, alors R a = R b .
– Si à partir d’un certain rang |a n | |b n |, alors R a R b .
– Si a n = O(b n ), alors R a R b .
Dans les deux derniers cas, on a seulement une inégalité entre les rayons de
convergence. Pour obtenir l’inégalité inverse, on utilisera souvent la partie droite
du tableau précédent : par exemple, quand une série entière de rayon R ne
converge pas en un point |x 0 |, ou quand la suite a n x
n
0 ne converge pas vers 0,
alors R |x 0 |.
• Résultats pratiques pour déterminer le rayon de convergence
1) Règle de d’Alembert pour les séries entières
Soit
a n z
n une série entière. Si
(i ) il existe n 0 ∈ N tel que, pour tout n n 0 , on ait a n = 0
(ii) la suite (|a n+1 |/|a n |) tend vers ∈ [ 0, +∞ ] ,
alors le rayon de convergence de la série entière
a n z
n est R = 1//, avec la
convention 1/0 = +∞ et 1/ + ∞ = 0.
Remarque
On ne peut pas appliquer directement la règle de d’Alembert telle qu’on vient
de la citer, à des séries entières dites lacunaires c’est-à-dire où une infinité de
termes a n s’annulent.
Cependant dans le cas de série du type
b n z
p n où ( p n ) est une suite strictement croissante de nombres entiers positifs et (b n ) est une suite de nombres
complexes non nuls, on pourra essayer d’appliquer la règle de d’Alembert à la
série numérique de terme général u n (z) = b n z
p n . Nous allons voir plusieurs
exemples dans les exercices .
Mise en garde
– La règle de d’Alembert n’est pas toujours applicable, par exemple lorsque la
suite (|a n+1 |/|a n |) n’a pas de limite.
– Le fait que la série entière
a n z
n a pour rayon de convergence R n’implique
pas que la suite
|a n+1 |/|a n |
converge vers 1/R.
2) Comparaison des rayons de convergence de deux séries entières
Cette méthode est très utile. En effet, elle permet de se ramener à des séries
entières dont on connaît déjà le rayon de convergence ou auxquelles on peut,
par exemple, appliquer la règle de d’Alembert.
Plus précisément, soient
a n z
n et
b n z
n deux séries entières de rayons de
convergence respectifs R a et R b .
– La série entière
|a n |z
n a pour rayon de convergence R a ; autrement dit,
les séries entières
a n z
n et
|a n |z
n ont même rayon de convergence .
– Si |a n | ∼ |b n |, alors R a = R b .
– Si à partir d’un certain rang |a n | |b n |, alors R a R b .
– Si a n = O(b n ), alors R a R b .
Dans les deux derniers cas, on a seulement une inégalité entre les rayons de
convergence. Pour obtenir l’inégalité inverse, on utilisera souvent la partie droite
du tableau précédent : par exemple, quand une série entière de rayon R ne
converge pas en un point |x 0 |, ou quand la suite a n x
n
0 ne converge pas vers 0,
alors R |x 0 |.