Séries entières
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7.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Soit (a n ) n0 une suite de nombres complexes, et, pour tout n ∈ N soit u n la fonction
de C (resp. R) dans C définie par u n (z) = a n z
n (resp. u n (x) = a n x
n ). La série de
fonctions de terme général u n est appelée série entière à variable complexe (resp.
réelle) de coefficients a n . Par abus de langage on notera cette série « la série entière
a n z
n (resp.
a n x
n ) ».
7.1.1 Rayon de convergence
Ce qu’il faut savoir
Il existe un unique nombre R ∈ [ 0, +∞ ] , appelé rayon de convergence de la
série entière
a n z
n , tel que l’on ait le tableau suivant :
|z| < R
|z| = R
|z| > R
La série de terme général a n z
n
converge absolument
La série de terme général a n z
n
ne converge pas absolument
La série de terme général a n z
n
converge
La série de terme général a n z
n
diverge
La suite (a n z
n ) n0
converge vers 0
La suite (a n z
n ) n0
ne converge pas vers 0
La suite (a n z
n ) n0
est bornée
La suite (a n z
n ) n0
n’est pas bornée
Il peut se passer
n’importe quoi