148 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
propriété
P( p) : f est de classe C
p sur R avec ∀x ∈ R, f
( p) (x) =
+∞
n=1
(−1)
n f
( p)
n (x).
Il ne faut pas oublier de mettre la formule pour f
( p) dans l’hypothèse de récurrence
car le fait que f soit de classe C
p ne garantit pas du tout que f
( p) est la somme des
dérivées d’ordre p de (−1)
n f n .
On calcule ses premières dérivées : pour tout x ∈ R,
u
n (x) = −1(x + in)
−2 , u
n (x) = (−1)(−2)(x + in)
−3 . . .
et une récurrence assez rapide permet de prouver que pour tout p ∈ N,
u
( p)
n (x) = (−1)
p
p!
(x + in) p+1 ,
ainsi que |u
( p)
n (x)|
p!
n p+1 . Cela permet alors d’obtenir, pour tout x ∈ R et pour
tout n ∈ N
∗ , | f
( p)
n (x)|
2 p!
n p+1 . Cela donne la convergence normale de la série des
dérivées d’ordre p sur R, dès que p 1.
On peut alors montrer le résultat par récurrence.
• On a P(1) : la série
(−1)
n f n converge simplement sur R, chaque fonction
(−1)
n f n est de classe C
1 sur R et
(−1)
n f
n converge normalement sur R. Donc
f est de classe C
1 avec f
=
+∞
n=1
(−1)
n f
n sur R.
• Soit p ∈ N
∗ tel que P( p). Alors la série de fonctions de classe C
1 ,
(−1)
n f
( p)
n
converge au moins simplement sur R et sa série des dérivées converge normalement sur R. Cela permet d’appliquer le théorème de dérivation à
(−1)
n f
( p)
n
et
d’en déduire P( p + 1). Donc, pour tout p ∈ N
∗ , on a P( p) ⇒ P( p + 1).
• conclusion : par récurrence, on a prouvé le résultat demandé : f est de classe C
p
sur R pour tout p ∈ N
∗ , donc C
∞ .
Remarque
La rédaction de cet exercice dans le cadre du programme PC est plus simple
puisque la récurrence ne s’impose pas car le théorème de classe C
p est au programme : soit p ∈ N
∗ , chaque fontion (−1)
n f n , pour n ∈ N
∗ , est de classe C
p sur
R, la série
(−1)
n f n converge simplement sur R et chaque série
(−1)
n f
(k)
n ,
pour k ∈ {1, . . . , p} converge normalement sur R (seule la convergence normale
de la dernière dérivée est nécessaire pour appliquer le théorème, la convergence
simple suffit pour les autres). Cela donne bien le fait que f est de classe C
p sur R
et ce pour tout p ∈ N
∗ .
propriété
P( p) : f est de classe C
p sur R avec ∀x ∈ R, f
( p) (x) =
+∞
n=1
(−1)
n f
( p)
n (x).
Il ne faut pas oublier de mettre la formule pour f
( p) dans l’hypothèse de récurrence
car le fait que f soit de classe C
p ne garantit pas du tout que f
( p) est la somme des
dérivées d’ordre p de (−1)
n f n .
On calcule ses premières dérivées : pour tout x ∈ R,
u
n (x) = −1(x + in)
−2 , u
n (x) = (−1)(−2)(x + in)
−3 . . .
et une récurrence assez rapide permet de prouver que pour tout p ∈ N,
u
( p)
n (x) = (−1)
p
p!
(x + in) p+1 ,
ainsi que |u
( p)
n (x)|
p!
n p+1 . Cela permet alors d’obtenir, pour tout x ∈ R et pour
tout n ∈ N
∗ , | f
( p)
n (x)|
2 p!
n p+1 . Cela donne la convergence normale de la série des
dérivées d’ordre p sur R, dès que p 1.
On peut alors montrer le résultat par récurrence.
• On a P(1) : la série
(−1)
n f n converge simplement sur R, chaque fonction
(−1)
n f n est de classe C
1 sur R et
(−1)
n f
n converge normalement sur R. Donc
f est de classe C
1 avec f
=
+∞
n=1
(−1)
n f
n sur R.
• Soit p ∈ N
∗ tel que P( p). Alors la série de fonctions de classe C
1 ,
(−1)
n f
( p)
n
converge au moins simplement sur R et sa série des dérivées converge normalement sur R. Cela permet d’appliquer le théorème de dérivation à
(−1)
n f
( p)
n
et
d’en déduire P( p + 1). Donc, pour tout p ∈ N
∗ , on a P( p) ⇒ P( p + 1).
• conclusion : par récurrence, on a prouvé le résultat demandé : f est de classe C
p
sur R pour tout p ∈ N
∗ , donc C
∞ .
Remarque
La rédaction de cet exercice dans le cadre du programme PC est plus simple
puisque la récurrence ne s’impose pas car le théorème de classe C
p est au programme : soit p ∈ N
∗ , chaque fontion (−1)
n f n , pour n ∈ N
∗ , est de classe C
p sur
R, la série
(−1)
n f n converge simplement sur R et chaque série
(−1)
n f
(k)
n ,
pour k ∈ {1, . . . , p} converge normalement sur R (seule la convergence normale
de la dernière dérivée est nécessaire pour appliquer le théorème, la convergence
simple suffit pour les autres). Cela donne bien le fait que f est de classe C
p sur R
et ce pour tout p ∈ N
∗ .