6.3 Exercices d’approfondissement 147
précédentes pour n allant de 1 à +∞ pour obtenir
+∞
n=1
1
(n + 1) x+1 =
+∞
n=2
1
n x+1
+∞
1
dt
t x+1
+∞
n=1
1
n x+1
Puisque
+∞
1
dt
t x+1 =
1
x
, on obtient
+∞
n=1
1
n x+1 − 1
1
x
+∞
n=1
1
n x+1 , soit
1/x
+∞
n=1
1
n x+1 1 + 1/x et finalement 1 S(x) 1 + x. Cela nous donne, par
encadrement lim
x→0 +
S(x) = 1 = S(0) = 0 et S n’est pas continue sur [0, +∞[.
Exercice 6.17
Centrale PSI 2005 K
Montrer que la fonction f définie par f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n
n
n 2 + x 2 est de classe
C
∞ sur R.
On note, pour n ∈ N
∗ et x ∈ R, f n (x) =
n
n 2 + x 2 . Pour tout x ∈ R, la série
(−1)
n f n (x) est une série alternée. Il est nécessaire de montrer la décroissance de
la suite ( f n (x)) n vers 0. On étudie la fonction h : t →
t
t 2 + x 2 de classe C
1 sur R
et de dérivée vérifiant h
(t) =
x
2
− t
2
(x 2 + t 2 ) 2 . Ainsi h
est décroissante sur [|x|, +∞[ et
la série vérifie bien le critère spécial des séries alternées (à partir d’un certain rang
seulement, mais c’est suffisant).
Le calcul des premières dérivées de f n ne fait pas apparaître de formule simple, si on
a l’intention d’obtenir une majoration pour une convergence normale. On décompose
alors en éléments simples : on cherche des complexes a et b tels que
∀x ∈ R,
n
(x + in)(x − in)
=
a
x + in
+
b
x − in
.
On trouve alors a = i/2 et b = −i/2 (par exemple en réduisant au même dénominateur x
2 + n
2 et en utilisant le fait que les deux numérateurs sont deux fonctions
polynômes égales sur R donc avec les même coefficients). Ainsi, pour tout x ∈ R,
f n (x) =
i
2
1
x + in
−
1
x − in
.
On note u n (x) = 1/(x + in) = (x + in)
−1 toujours pour x ∈ R et n ∈ N
∗ . Cette
fonction est de classe C
∞ sur R. On va prouver par récurrence sur p ∈ N
∗ , la
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
précédentes pour n allant de 1 à +∞ pour obtenir
+∞
n=1
1
(n + 1) x+1 =
+∞
n=2
1
n x+1
+∞
1
dt
t x+1
+∞
n=1
1
n x+1
Puisque
+∞
1
dt
t x+1 =
1
x
, on obtient
+∞
n=1
1
n x+1 − 1
1
x
+∞
n=1
1
n x+1 , soit
1/x
+∞
n=1
1
n x+1 1 + 1/x et finalement 1 S(x) 1 + x. Cela nous donne, par
encadrement lim
x→0 +
S(x) = 1 = S(0) = 0 et S n’est pas continue sur [0, +∞[.
Exercice 6.17
Centrale PSI 2005 K
Montrer que la fonction f définie par f (x) =
+∞
n=1
(−1)
n
n
n 2 + x 2 est de classe
C
∞ sur R.
On note, pour n ∈ N
∗ et x ∈ R, f n (x) =
n
n 2 + x 2 . Pour tout x ∈ R, la série
(−1)
n f n (x) est une série alternée. Il est nécessaire de montrer la décroissance de
la suite ( f n (x)) n vers 0. On étudie la fonction h : t →
t
t 2 + x 2 de classe C
1 sur R
et de dérivée vérifiant h
(t) =
x
2
− t
2
(x 2 + t 2 ) 2 . Ainsi h
est décroissante sur [|x|, +∞[ et
la série vérifie bien le critère spécial des séries alternées (à partir d’un certain rang
seulement, mais c’est suffisant).
Le calcul des premières dérivées de f n ne fait pas apparaître de formule simple, si on
a l’intention d’obtenir une majoration pour une convergence normale. On décompose
alors en éléments simples : on cherche des complexes a et b tels que
∀x ∈ R,
n
(x + in)(x − in)
=
a
x + in
+
b
x − in
.
On trouve alors a = i/2 et b = −i/2 (par exemple en réduisant au même dénominateur x
2 + n
2 et en utilisant le fait que les deux numérateurs sont deux fonctions
polynômes égales sur R donc avec les même coefficients). Ainsi, pour tout x ∈ R,
f n (x) =
i
2
1
x + in
−
1
x − in
.
On note u n (x) = 1/(x + in) = (x + in)
−1 toujours pour x ∈ R et n ∈ N
∗ . Cette
fonction est de classe C
∞ sur R. On va prouver par récurrence sur p ∈ N
∗ , la
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit