146 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
L’exercice suivant utilise la notion d’intégrabilité.
Exercice 6.16
CCP PSI 2007
On définit pour n ∈ N
∗ et x 0, f n (x) =
x
n x+1 .
1. Étudier la convergence simple de
f n sur [0, +∞[. On notera S la somme
de la série.
2. Étudier la convergence normale de cette même série sur [0, +∞[.
3. S est-elle continue sur R
+ ?
1. Pour tout n ∈ N, f n (0) = 0 donc la série converge pour x = 0. Si x > 0, la série
de Riemann
1
n x+1 converge puisque x + 1 > 1. On a donc convergence simple
de la série de fonctions sur [0, +∞[.
2. Chaque fonction f n est continue sur [0, +∞[. On étudie les variations de f n sur
[0, +∞[ afin d’obtenir le maximum de la fonction f n sur [0, +∞[. Pour tout x > 0,
on a
f
n (x) =
1
n x+1 −
x ln n
n x+1 =
1 − x ln n
n x+1 .
f n (0) = 0, la limite de f n en +∞ est nulle par croissances comparées et finalement
f n est positive avec un maximum en 1/ ln n avec
f n (1/ ln n) =
1
(ln n)n 1+1/ ln n =
1
en ln n
(car n
1/ ln n = e). La série
1
n ln n
diverge (voir exercice 4.15 sur les séries de
Bertrand). Il n’y a donc pas convergence normale sur R
+ .
3. On peut facilement montrer la continuité de S sur tout segment [a, b] ⊂ R
∗
+ . En
effet, sur un tel segment [a, b], | f n (x)|
b
n a+1 et
f n converge normalement
sur [a, b]. Comme chaque fonction f n est continue sur R
+ donc sur [a, b], S est
continue sur tout segment de R
∗
+ donc sur R
∗
+ . L’étude de la continuité en 0 est
plus technique. On va encadrer la somme partielle par des intégrales. Soit x > 0,
si n ∈ N
∗ ,
1
(n + 1) x+1
n+1
n
1
t x+1 dt
1
n x+1
puisque t → 1/t
x+1 est décroissante sur [1, +∞[. En utilisant la convergence de
la série de Riemann
1
n x+1 (car x + 1 > 1), on peut sommer les inégalités