6.3 Exercices d’approfondissement 145
ce qui donne, pour x > 0, ln f n (x) = x ln n − ln x −
n
k=1
ln(1 +
x
k
). On ajoute les
termes nécessaires pour obtenir la série demandée :
ln f n (x) = x ln n − ln x +
n
k=1
x
k
− ln(1 +
x
k
−
n
k=1
x
k
= − ln x − x
n
k=1
1
k
− ln n
+
n
k=1
x
k
− ln(1 +
x
k
)
un développement simple de ln(1 + x/k) − x/k = O(1/k
2 ) prouve la convergence
de la seconde série. Pour prouver la convergence de v n =
n
k=1
1
k
− ln n, on peut
utiliser l’étude de la convergence précédente avec x = 1, car
n
k=1
1
k
− ln(1 +
1
k
)
=
n
k=1
1
k
− ln(
k + 1
k
)
=
n
k=1
1
k
− ln(n + 1)
=
n
k=1
1
k
− ln(n) − ln(1 + 1/n)
soit prouver directement la convergence de cette suite en trouvant un équivalent
du terme général de la série
(v n − v n−1 ). On note alors g la limite de cette suite
v n . On obtient en passant à la limite et en utilisant la continuité de ln sur R
∗
+ ,
ln G(x) = − ln x − g x +
+∞
n=1
x
n
− ln(1 +
x
n
)
.
3. On va bien entendu étudier ln ◦G en utilisant la relation précédente, pour ensuite
conclure sur la classe C
1 de G en composant avec la fonction exponentielle. La
fonction x → − ln x −gx est C
1 sur R
∗
+ , il reste donc à étudier la classe de la série
de fonctions
h n avec, pour n ∈ N
∗ , h n (x) =
x
n
− ln(1 +
x
n
) sur R
∗
+ . Chaque
fonction h n est de classe C
1 sur R
∗
+ et on dispose déjà de la convergence simple
de la série de fonctions sur R
∗
+ . Pour tout x > 0,
h
n (x) =
1
n
−
1
x + n
=
x
n(x + n)
Cette série de fonctions converge normalement sur tout segment [a, b] ⊂ R
∗
+
puisque pour tout x ∈ [a, b], |h
n (x)|
b
n(n + a)
∼
n→+∞
b
n 2 . Le théorème de dérivation permet de conclure quant à la classe C
1 de la somme sur tout segment de
R
∗
+ donc sur R
∗
+ .
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