144 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
Donc la série
f n converge normalement sur R + et sa somme - notons la F - est
continue sur R
+ . Avec F(0) =
+∞
n=1
1
n 2 =
p
2
6
, on obtient S(x) ∼
x→0 +
F(0)
x 2 =
p
2
6x 2 .
6.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 6.15
Mines-Ponts MP 2006
Soit n ∈ N
∗ . On définit f n sur R
∗
+ par f n (x) =
n
x n!
n
k=0 (x + k)
.
1. Prouver l’existence, pour tout x > 0, de G(x) = lim
n→+∞
f n (x).
2. Montrer l’existence d’une constante g telle que, pour tout x > 0,
ln G(x) = − ln x − g x +
+∞
n=1
x
n
− ln(1 +
x
n
)
.
3. Montrer que G est de classe C
1 sur R
∗
+ .
1. Puisque f n (x) > 0 si x > 0, on va plutôt étudier g n (x) = ln f n (x), cela permet de transformer les produits en somme. Soit x > 0. Pour étudier la convergence de la suite (g n (x)), on étudie la convergence de la série de terme général
(g n (x) − g n−1 (x)). Si n ∈ N avec n > 1, on a, pour tout x > 0,
g n (x) − g n−1 (x) = ln( f n (x)/ f n−1 (x)) = ln
n
n − 1
x n
x + n
= x ln
n
n − 1
− ln(1 +
x
n
)
= −x ln(1 −
1
n
) − (
x
n
+ O(
1
n 2 ))
=
x
n
−
x
n
+ O(
1
n 2 ) = O(
1
n 2 ).
Par critère de comparaison, la série de terme général (g n (x) − g n−1 (x)) est
absolument convergente, donc convergente et la suite (g n (x)) n∈N ∗ converge vers
une limite finie (x). Par continuité de la fonction exponentielle, la suite ( f n (x))
converge vers exp((x)) lorsque n tend vers +∞. On note cette limite G(x).
2. On essaie de faire apparaître les termes demandés. On a
1
n!
n
k=0
(x + k)
= x
n
k=1
x + k
k