6.2 Exercices d’entraînement 143
2. On définit une fonction F par F(0) = 1 et F(x) =
x
sh x
si x > 0. Montrer
que F est continue et bornée sur R
+ .
3. En exprimant S(x) à l’aide de la fonction F, déterminer un équivalent de S(x)
lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures.
1. On note, pour n ∈ N
∗ et x = 0, u n (x) =
1
sh
2 nx
. La fonction u n est continue
sur R
∗ et paire. On étudie donc la convergence de la série de fonctions sur R
∗
+ . Si
x > 0, u n (x) ∼
x→+∞
2
e nx
2
= 4e
−2nx . La série géométrique
e
−2nx converge
(la raison est e
−2x
∈ ]0, 1[). Par les critères de comparaison pour les séries à
termes positifs, la série de fonctions converge simplement sur R
∗
+ . Chacune des
fonctions u n est de classe C
1 sur R + et, pour tout x > 0, u
n (x) =
−2n ch(nx)
sh
3 (nx)
.
Puisqu’on doit étudier la classe C
1 sur R
∗
+ , afin d’éviter les problèmes de majoration à la fois pour x proche de 0 et x trop grand, on se place sur un segment
[a, b] ⊂ R
∗
+ . On a alors, pour tout x ∈ [a, b], |u
n (x)|
2n ch(nb)
sh
3 (na)
= v n .
Or v n ∼
n→+∞
8n
e
nb
e 3na = 8ne
(b−3a)n , et on se rend compte que la majoration est
beaucoup trop grande car b − 3a peut-être positif. On reprend en cherchant une
meilleure majoration (ch et sh sont équivalents en +∞, on ne doit donc pas les
garder ensemble) :
∀x ∈ [a, b], |u
n (x)| =
2n
th(nx) sh
2 (nx)
2n
th(na) sh
2 (na)
∼
n→+∞
8n
1.e 2na .
Ce qui donne bien cette fois la convergence normale sur [a, b] (et par la même
occasion sur [a, +∞[). Ainsi S est de classe C
1 sur tout segment de R
∗
+ donc sur
R
∗
+ , avec, d’après le théorème de dérivabilité, pour tout x > 0, S
(x) =
+∞
n=1
u
n (x).
2. F est continue sur R
∗
+ et lim
x→0 +
F(x) = 1. Donc F est continue sur R
+ . Une étude
de la fonction x → sh x − x donne sh x x pour tout x ∈ R
+ . On en déduit que,
pour tout x ∈ R
∗
+ , F(x) 1. Puisque F(0) = 1, on en déduit que F est bornée
sur R
+ .
3. Pour tout x > 0, S(x) =
+∞
n=1
F
2 (nx)
n 2 x 2 =
1
x 2
+∞
n=1
F
2 (nx)
n 2 . On note f n (x) =
F
2 (nx)
n 2
pour x 0. Cette fonction est continue sur R
+ et pour tout x 0, | f n (x)|
1
n 2 .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2. On définit une fonction F par F(0) = 1 et F(x) =
x
sh x
si x > 0. Montrer
que F est continue et bornée sur R
+ .
3. En exprimant S(x) à l’aide de la fonction F, déterminer un équivalent de S(x)
lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures.
1. On note, pour n ∈ N
∗ et x = 0, u n (x) =
1
sh
2 nx
. La fonction u n est continue
sur R
∗ et paire. On étudie donc la convergence de la série de fonctions sur R
∗
+ . Si
x > 0, u n (x) ∼
x→+∞
2
e nx
2
= 4e
−2nx . La série géométrique
e
−2nx converge
(la raison est e
−2x
∈ ]0, 1[). Par les critères de comparaison pour les séries à
termes positifs, la série de fonctions converge simplement sur R
∗
+ . Chacune des
fonctions u n est de classe C
1 sur R + et, pour tout x > 0, u
n (x) =
−2n ch(nx)
sh
3 (nx)
.
Puisqu’on doit étudier la classe C
1 sur R
∗
+ , afin d’éviter les problèmes de majoration à la fois pour x proche de 0 et x trop grand, on se place sur un segment
[a, b] ⊂ R
∗
+ . On a alors, pour tout x ∈ [a, b], |u
n (x)|
2n ch(nb)
sh
3 (na)
= v n .
Or v n ∼
n→+∞
8n
e
nb
e 3na = 8ne
(b−3a)n , et on se rend compte que la majoration est
beaucoup trop grande car b − 3a peut-être positif. On reprend en cherchant une
meilleure majoration (ch et sh sont équivalents en +∞, on ne doit donc pas les
garder ensemble) :
∀x ∈ [a, b], |u
n (x)| =
2n
th(nx) sh
2 (nx)
2n
th(na) sh
2 (na)
∼
n→+∞
8n
1.e 2na .
Ce qui donne bien cette fois la convergence normale sur [a, b] (et par la même
occasion sur [a, +∞[). Ainsi S est de classe C
1 sur tout segment de R
∗
+ donc sur
R
∗
+ , avec, d’après le théorème de dérivabilité, pour tout x > 0, S
(x) =
+∞
n=1
u
n (x).
2. F est continue sur R
∗
+ et lim
x→0 +
F(x) = 1. Donc F est continue sur R
+ . Une étude
de la fonction x → sh x − x donne sh x x pour tout x ∈ R
+ . On en déduit que,
pour tout x ∈ R
∗
+ , F(x) 1. Puisque F(0) = 1, on en déduit que F est bornée
sur R
+ .
3. Pour tout x > 0, S(x) =
+∞
n=1
F
2 (nx)
n 2 x 2 =
1
x 2
+∞
n=1
F
2 (nx)
n 2 . On note f n (x) =
F
2 (nx)
n 2
pour x 0. Cette fonction est continue sur R
+ et pour tout x 0, | f n (x)|
1
n 2 .
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