142 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
2. Pour tout n ∈ N
∗ , lim
x→+∞
u n (x) = 0. Puisque la convergence est normale sur R
∗
+ ,
le théorème de permutation des limites permet d’écrire lim
x→+∞
T (x) =
+∞
n=1
0 = 0.
Cela donne lim
x→+∞
S(x) = lim
x→+∞
1
x
+ lim
x→+∞
T (x) = 0.
3. Pour des raisons semblables, on a lim
x→0
T (x) =
+∞
n=1
(−1)
n
n n!
. Or lim
x→0 +
u 0 (x) = +∞,
ainsi on obtient d’une part lim
x→0 +
S(x) = +∞ et d’autre part S(x) ∼
x→0
1
x
(on ne
peut pas appliquer le théorème de permutation des limites à la série qui définit S
puisque la fonction u 0 n’admet pas de limite finie en 0
+ ).
4. On regroupe les deux sommes, pas directement (sinon cela ne se simplifie pas)
mais après un changement d’indice. Pour tout x > 0
x S(x) − S(x + 1) =
+∞
n=0
(−1)
n x
n!(x + n)
−
+∞
n=0
(−1)
n
n!(x + 1 + n)
=
+∞
n=0
(−1)
n x
n!(x + n)
+
+∞
n=1
(−1)
n
(n − 1)!(x + n)
= 1 +
+∞
n=1
(−1)
n x + n
n!(x + n)
= 1 +
+∞
n=1
(−1)
n
n!
=
+∞
n=0
(−1)
n
n!
=
1
e
5. Puisque x S(x) = S(x + 1) +
1
e
, lim
x→+∞
x S(x) = 1/e et S(x) ∼
x→+∞
1
ex
. On utilise alors S(x + 1) =
1
e(x + 1)
+ o
1
x + 1
=
1
ex
+ o
1
x
, ce qui donne
x S(x) =
1
e
+
1
ex
+ o
1
x
, c’est-à-dire S(x) =
1
ex
+
1
ex 2 + o
1
x 2
.
Exercice 6.14
Mines-Ponts PSI 2005
Soit la fonction S : x →
+∞
n=1
1
sh
2 nx
.
1. Déterminer l’ensemble de définition de S. Étudier la continuité et la dérivabilité de S.