6.2 Exercices d’entraînement 141
3. Les termes
n
n + 1
et
1
n + 1
dans f
et f nous invitent à les ajouter pour les simplifier. Pour tout x > 0,
f (x) − f
(x) =
+∞
n=0
(−1)
n n + 1
n + 1
e
−nx =
+∞
n=0
(−e
−x )
n =
1
1 + e −x
ce qui donne, pour tout x > 0, f
(x) = f (x)−
1
1 + e −x . La fonction f est continue
sur R
+ , ce qui permet d’obtenir lim
x→0 +
f
(x) = f (0) −
1
2
. Donc f est continue sur
R
+ , de classe C
1 sur R
∗
+ et f
admet une limite finie en 0, ainsi f est de classe C
1
sur R
+ .
Exercice 6.13
CCP PC 2006, Centrale PC 2005
Soit la fonction S : x →
+∞
n=0
(−1)
n
n!(x + n)
.
1. Montrer que S est définie et continue sur ]0, +∞[.
2. Déterminer la limite de S(x) lorsque x tend vers +∞.
3. Déterminer la limite de S(x) lorsque x tend vers 0 ainsi qu’un équivalent
simple de S(x) en 0.
4. Montrer que pour tout x > 0, x S(x) − S(x + 1) =
1
e
.
5. Déterminer des réels a, b et c tels que S(x) = a +
b
x
+
c
x 2 + o
x→+∞
1
x 2
.
On note u n (x) =
(−1)
n
n!(x + n)
pour x > 0 et n ∈ N.
1. La forme de u n permet de prouver directement la convergence normale de
la série sur ] 0, +∞ [ . Pour tout x > 0, |u n (x)|
1
n n!
mais seulement si
n ∈ N
∗ . La fonction u 0 n’est pas bornée sur R
∗
+ . On s’intéresse alors à la série
qui ne commence qu’au rang 1. Pour tout n 1, u n ∞,R ∗
+
=
1
n n!
et
n1
u n
converge normalement sur R
∗
+ . Comme chaque fonction u n est continue sur
R
∗
+ , T =
+∞
n=1
u n est continue sur R
∗
+ . On peut donc écrire, pour tout x > 0,
S(x) = u 0 (x) + T (x) =
1
x
+ T (x), somme de deux fonctions définies et continues
sur R
∗
+ .
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