140 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
3. Déterminer une équation différentielle simple dont f est solution et en déduire
que f est de classe C
1 sur [0, +∞[.
1. On définit pour n ∈ N et x ∈ R, u n (x) = (−1)
n e
−nx
n + 1
. Si x < 0, lim
n→+∞
|u n (x)| = +∞
et la série
u n (x) est grossièrement divergente. Si x 0, la suite (e
−nx ) n∈N
est décroissante (vers 0 si x > 0 et constante égale à 1 si x = 0) et positive.
La suite (
1
n + 1
) n∈N est décroissante vers 0 si bien que la suite (|u n (x)|) n∈N est
décroissante vers 0. La série
u n étant alternée, le critère spécial des séries
alternées nous assure que la série converge lorsque x 0. Ainsi f est définie sur
R
+ .
2. Chacune des fonctions u n est continue sur R
+ . La difficulté vient du fait que
u n ∞,R + = |u n (0)| =
1
n + 1
, et on n’a pas convergence normale de la série
de fonctions. On doit alors essayer de montrer la convergence uniforme sur R
+
(on ne peut pas ici se contenter de la convergence normale sur les intervalles
[a, +∞[ avec a > 0, ce qui ne donnerait que la continuité sur R
∗
+ ). On sait
toutefois que pour x 0, la série numérique
u n (x) vérifie le critère spécial
des séries alternées. On note pour x 0, R n (x) =
+∞
k=n+1
u k (x) (reste d’ordre
n de la série). Soit x ∈ R
+ . Le critère spécial des séries alternées nous permet la majoration de |R n (x)| par la valeur absolue de son premier terme, soit
|R n (x)|
e
−(n+1)x
n + 2
1
n + 2
, si bien que R n ∞,R +
1
n + 2
. Ce majorant tend
vers 0 lorsque n tend vers +∞. La convergence est donc uniforme sur R
+ et la
fonction somme f est donc continue sur R
+ .
Chacune des fonctions u n est de classe C
1 sur R
+ avec, pour tout x ∈ R
+ ,
u
n (x) = (−1)
n+1 n
n + 1
e
−nx . On peut remarquer que u
n (0) = (−1)
n+1 n
n + 1
ne
tend pas vers 0 lorsque n tend vers +∞. Ainsi
u
n (0) diverge et on n’a aucune
chance de pouvoir appliquer le théorème de dérivation sur R
+ (mais cela ne
prouve pas que f n’est pas C
1 sur R
+ ). On fixe a > 0. Pour x ∈ [a, +∞[,
|u
n (x)|
n
n + 1
e
−na
e
−na , ce qui donne la convergence normale de
u
n
sur [a, +∞[. On a auparavant prouvé la convergence simple de
u n sur R
+ . On
peut donc conclure que f est de classe C
1 sur [a, +∞[ avec,
pour tout x a, f
(x) =
+∞
n=0
(−1)
n+1 n
n + 1
e
−nx .
La dérivabilité s’étend à R
∗
+ puisque a est un réel strictement positif quelconque.
3. Déterminer une équation différentielle simple dont f est solution et en déduire
que f est de classe C
1 sur [0, +∞[.
1. On définit pour n ∈ N et x ∈ R, u n (x) = (−1)
n e
−nx
n + 1
. Si x < 0, lim
n→+∞
|u n (x)| = +∞
et la série
u n (x) est grossièrement divergente. Si x 0, la suite (e
−nx ) n∈N
est décroissante (vers 0 si x > 0 et constante égale à 1 si x = 0) et positive.
La suite (
1
n + 1
) n∈N est décroissante vers 0 si bien que la suite (|u n (x)|) n∈N est
décroissante vers 0. La série
u n étant alternée, le critère spécial des séries
alternées nous assure que la série converge lorsque x 0. Ainsi f est définie sur
R
+ .
2. Chacune des fonctions u n est continue sur R
+ . La difficulté vient du fait que
u n ∞,R + = |u n (0)| =
1
n + 1
, et on n’a pas convergence normale de la série
de fonctions. On doit alors essayer de montrer la convergence uniforme sur R
+
(on ne peut pas ici se contenter de la convergence normale sur les intervalles
[a, +∞[ avec a > 0, ce qui ne donnerait que la continuité sur R
∗
+ ). On sait
toutefois que pour x 0, la série numérique
u n (x) vérifie le critère spécial
des séries alternées. On note pour x 0, R n (x) =
+∞
k=n+1
u k (x) (reste d’ordre
n de la série). Soit x ∈ R
+ . Le critère spécial des séries alternées nous permet la majoration de |R n (x)| par la valeur absolue de son premier terme, soit
|R n (x)|
e
−(n+1)x
n + 2
1
n + 2
, si bien que R n ∞,R +
1
n + 2
. Ce majorant tend
vers 0 lorsque n tend vers +∞. La convergence est donc uniforme sur R
+ et la
fonction somme f est donc continue sur R
+ .
Chacune des fonctions u n est de classe C
1 sur R
+ avec, pour tout x ∈ R
+ ,
u
n (x) = (−1)
n+1 n
n + 1
e
−nx . On peut remarquer que u
n (0) = (−1)
n+1 n
n + 1
ne
tend pas vers 0 lorsque n tend vers +∞. Ainsi
u
n (0) diverge et on n’a aucune
chance de pouvoir appliquer le théorème de dérivation sur R
+ (mais cela ne
prouve pas que f n’est pas C
1 sur R
+ ). On fixe a > 0. Pour x ∈ [a, +∞[,
|u
n (x)|
n
n + 1
e
−na
e
−na , ce qui donne la convergence normale de
u
n
sur [a, +∞[. On a auparavant prouvé la convergence simple de
u n sur R
+ . On
peut donc conclure que f est de classe C
1 sur [a, +∞[ avec,
pour tout x a, f
(x) =
+∞
n=0
(−1)
n+1 n
n + 1
e
−nx .
La dérivabilité s’étend à R
∗
+ puisque a est un réel strictement positif quelconque.