6.2 Exercices d’entraînement 139
x > 0,
f
(x) =
+∞
n=1
e
−nx =
e
−x
1 − e −x =
1
e x − 1
.
En intégrant (on utilise l’avant dernière forme trouvée pour f
), il existe une
constante C ∈ R telle que, pour tout x > 0, f
(x) = ln(1−e
−x )+C. On détermine
cette constante à l’aide d’une valeur particulière. On ne peut pas prendre x = 0 et
aucune autre valeur ne donne rapidement cette constante. On étudie alors la limite
lorsque x tend vers +∞. D’une part, on a lim
x→+∞
ln(1 − e
−x ) + C = C. D’autre
part, puisque la convergence de
u
n est normale sur [1, +∞[ et puisque, pour
tout n ∈ N
∗ , lim
x→+∞
u
n (x) = 0, on obtient lim
x→+∞
f
(x) = 0 par permutation des
limites. Finalement, pour tout x > 0, f
(x) = ln(1 − e
−x ).
3. Puisque lim
x→0 +
f
(x) = lim
x→0 +
ln(1 − e
−x ) = −∞, f n’est pas dérivable en 0.
4. On voudrait écrire directement, pour tout x > 0, f (x) − f (0) =
x
0
f
(t) dt
mais f n’est pas de classe C
1 sur R
+ (problème pour l’intégration en 0).
On va généraliser cette formule, mais la difficulté vient de la limite infinie
pour f
en 0. Il faut éviter d’avoir à traiter deux difficultés : la borne qui
dépend de la variable x et celle qui donne une intégrale généralisée. Notons
g(x) =
x
1
f
(t) dt pour x > 0. La fonction g est de classe C
1 sur R
∗
+ , de dérivée
f
(et g(x) = f (x) − f (1) si x > 0). On prouve l’intégrabilité de f
sur ]0, 1].
Si x > 0, f
(x) = ln(1 − e
−x ) = ln(x + o(x)) = ln x + ln(1 + o(1)). Donc
f
(x) ∼
x→0
ln x et f
est intégrable sur ]0, 1]. Donc g admet une limite finie en
0 qui vaut g(0) =
1
0
f
(t) dt (par définition de cette intégrale). On écrit alors,
pour tout ´ > 0 et tout x > 0, f (x) − f (´) =
x
´
f
(t) dt = g(x) − g(´). On peut
alors passer à la limite et faire tendre ´ vers 0 ( f est continue en 0). On obtient,
pour tout x > 0, f (x) − f (0) = g(x) − g(0) =
x
0
f
(t) dt =
x
0
ln(1 − e
−t ) dt.
Exercice 6.12
Air MP 2005 (PSI)
1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f définie par
f (x) =
+∞
n=0
(−1)
n e
−nx
n + 1
.
2. Montrer que f est continue sur [0, +∞[ et de classe C
1 sur ]0, +∞[.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
x > 0,
f
(x) =
+∞
n=1
e
−nx =
e
−x
1 − e −x =
1
e x − 1
.
En intégrant (on utilise l’avant dernière forme trouvée pour f
), il existe une
constante C ∈ R telle que, pour tout x > 0, f
(x) = ln(1−e
−x )+C. On détermine
cette constante à l’aide d’une valeur particulière. On ne peut pas prendre x = 0 et
aucune autre valeur ne donne rapidement cette constante. On étudie alors la limite
lorsque x tend vers +∞. D’une part, on a lim
x→+∞
ln(1 − e
−x ) + C = C. D’autre
part, puisque la convergence de
u
n est normale sur [1, +∞[ et puisque, pour
tout n ∈ N
∗ , lim
x→+∞
u
n (x) = 0, on obtient lim
x→+∞
f
(x) = 0 par permutation des
limites. Finalement, pour tout x > 0, f
(x) = ln(1 − e
−x ).
3. Puisque lim
x→0 +
f
(x) = lim
x→0 +
ln(1 − e
−x ) = −∞, f n’est pas dérivable en 0.
4. On voudrait écrire directement, pour tout x > 0, f (x) − f (0) =
x
0
f
(t) dt
mais f n’est pas de classe C
1 sur R
+ (problème pour l’intégration en 0).
On va généraliser cette formule, mais la difficulté vient de la limite infinie
pour f
en 0. Il faut éviter d’avoir à traiter deux difficultés : la borne qui
dépend de la variable x et celle qui donne une intégrale généralisée. Notons
g(x) =
x
1
f
(t) dt pour x > 0. La fonction g est de classe C
1 sur R
∗
+ , de dérivée
f
(et g(x) = f (x) − f (1) si x > 0). On prouve l’intégrabilité de f
sur ]0, 1].
Si x > 0, f
(x) = ln(1 − e
−x ) = ln(x + o(x)) = ln x + ln(1 + o(1)). Donc
f
(x) ∼
x→0
ln x et f
est intégrable sur ]0, 1]. Donc g admet une limite finie en
0 qui vaut g(0) =
1
0
f
(t) dt (par définition de cette intégrale). On écrit alors,
pour tout ´ > 0 et tout x > 0, f (x) − f (´) =
x
´
f
(t) dt = g(x) − g(´). On peut
alors passer à la limite et faire tendre ´ vers 0 ( f est continue en 0). On obtient,
pour tout x > 0, f (x) − f (0) = g(x) − g(0) =
x
0
f
(t) dt =
x
0
ln(1 − e
−t ) dt.
Exercice 6.12
Air MP 2005 (PSI)
1. Déterminer le domaine de définition de la fonction f définie par
f (x) =
+∞
n=0
(−1)
n e
−nx
n + 1
.
2. Montrer que f est continue sur [0, +∞[ et de classe C
1 sur ]0, +∞[.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit