138 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
Remarque
On pourrait montrer que la limite est +∞ en utilisant la définition de la limite
infinie, sans justifier l’existence d’une limite en +∞ pour S : soit A > 0, on fixe
N de sorte que
N
n=1
p
2n
2A. Par continuité de S N : x →
N
n=1
1
n
Arctan(x/n) sur
R, il existe B > 0 tel que, pour x > B, S N (x) > A et, puisque S(x) > S N (x), on
a bien pour tout x > B, S(x) > A.
Exercice 6.11
CCP PC 2007
Soit la fonction f : x →
+∞
n=1
e
−nx
n 2 .
1. Montrer que f est définie et continue sur [0, +∞[.
2. Montrer que f est de classe C
1 puis C
2 sur tout intervalle [a, +∞[ où a > 0.
En déduire que f est de classe C
2 sur R
∗
+ , calculer f
puis f
sur ]0, +∞[.
3. f est-elle dérivable en 0 ?
4. Montrer que pour tout x > 0, on a f (x) = f (0) +
x
0
ln(1 − e
−t ) dt (cette
question est à traiter après avoir étudié la notion d’intégrabilité).
1. Soit u n : x →
e
−nx
n 2 . Pour tout n ∈ N
∗ , u n est définie et continue sur I = [0, +∞[.
De plus, on a u n ∞,I = 1/n
2 . Puisque
1
n 2 converge, la série
u n converge
normalement sur I et f est donc définie et continue sur I .
2. On fixe a > 0. Pour tout n ∈ N
∗ , u n est de classe C
2 sur [a, +∞[ avec
u
n (x) = −
e
−nx
n
et u
n (x) = e
−nx . On a u
n ∞,[a,+∞[ =
e
−na
n
, terme négligeable devant e
−na lorsque n tend vers +∞. Ainsi
u
n converge normalement sur [a, +∞[ et
u n converge simplement sur [a, +∞[ donc f est C
1
sur [a, +∞[ avec, pour tout x > a, f
(x) = −
+∞
n=1
e
−nx
n
. De même, avec
u
n ∞,[a,+∞[ = e
−na , on montre que f
est C
1 sur cet intervalle avec, pour tout
x a, f
(x) =
+∞
n=1
e
−nx . La fonction f est donc de classe C
2 sur tout intervalle
[a, +∞[ avec a > 0, donc sur l’union de ces intervalles, à savoir R
∗
+ et pour tout