6.2 Exercices d’entraînement 137
1. Soit x ∈ R, f n (x) ∼
n→+∞
x
n 2 , de signe fixe. Puisque
1
n 2 converge. La série
f n (x) est convergente pour tout x ∈ R
+ vers un réel S(x). La somme S est
donc définie sur R et S est impaire. Il n’y a pas convergence normale sur R
+ car
sup
x0
| f n (x)| =
p
2n
, terme général d’une série divergente. On prouve la convergence
normale de la série de fonctions sur les segments [−A, A]. Soit A > 0, pour tout
x ∈ [−A, A] et pour tout n ∈ N
∗ , | f n (x)|
1
n
Arctan
A
n
= f n (A), terme général
d’une série convergente d’après l’ensemble de définition trouvé précédemment.
Chacune des fonctions f n étant continue sur R, S est continue sur [−A, A], pour
tout A > 0, donc finalement sur R.
2. Pour tout n ∈ N
∗ , f n est de classe C
1 sur R et, pour tout x ∈ R,
f
n (x) =
1
n 2
1
1 + x 2 /n 2 =
1
n 2 + x 2 .
Pour tout n ∈ N
∗ et pour tout x ∈ R, | f
n (x)|
1
n 2 . La série
f n est une
série de fonctions de classe C
1 sur R qui converge simplement sur R vers S avec
convergence normale de
f
n sur R donc S est de classe C
1 sur R avec, pour
tout x ∈ R, S
(x) =
+∞
n=1
1
n 2 + x 2 . On en déduit que S est croissante sur R puisque
S
(x) 0 pour tout x ∈ R.
Remarque
Bien entendu, on aurait pu se passer de la continuité de f et montrer directement
que f est de classe C
1 .
3. Lorsque x devient grand, on remarque que f n (x) est proche de
p
2n
qui est le terme
général d’une série divergente. On s’attend donc à ce que S admette une limite
infinie en +∞.
La croissance de S sur R permet d’affirmer que S admet une limite en +∞ soit
finie, soit infinie. Supposons que cette limite soit finie et notons la . Pour x > 0,
S(x)
N
n=1
1
n
Arctan(x/n), où N est un entier naturel fixé. En faisant tendre x
vers +∞, on obtient
N
n=1
p
2n
et cela pour tout N ∈ N
∗ . Lorsque N tend vers
+∞, on obtient une contradiction et finalement lim
x→+∞
S(x) = +∞.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
1. Soit x ∈ R, f n (x) ∼
n→+∞
x
n 2 , de signe fixe. Puisque
1
n 2 converge. La série
f n (x) est convergente pour tout x ∈ R
+ vers un réel S(x). La somme S est
donc définie sur R et S est impaire. Il n’y a pas convergence normale sur R
+ car
sup
x0
| f n (x)| =
p
2n
, terme général d’une série divergente. On prouve la convergence
normale de la série de fonctions sur les segments [−A, A]. Soit A > 0, pour tout
x ∈ [−A, A] et pour tout n ∈ N
∗ , | f n (x)|
1
n
Arctan
A
n
= f n (A), terme général
d’une série convergente d’après l’ensemble de définition trouvé précédemment.
Chacune des fonctions f n étant continue sur R, S est continue sur [−A, A], pour
tout A > 0, donc finalement sur R.
2. Pour tout n ∈ N
∗ , f n est de classe C
1 sur R et, pour tout x ∈ R,
f
n (x) =
1
n 2
1
1 + x 2 /n 2 =
1
n 2 + x 2 .
Pour tout n ∈ N
∗ et pour tout x ∈ R, | f
n (x)|
1
n 2 . La série
f n est une
série de fonctions de classe C
1 sur R qui converge simplement sur R vers S avec
convergence normale de
f
n sur R donc S est de classe C
1 sur R avec, pour
tout x ∈ R, S
(x) =
+∞
n=1
1
n 2 + x 2 . On en déduit que S est croissante sur R puisque
S
(x) 0 pour tout x ∈ R.
Remarque
Bien entendu, on aurait pu se passer de la continuité de f et montrer directement
que f est de classe C
1 .
3. Lorsque x devient grand, on remarque que f n (x) est proche de
p
2n
qui est le terme
général d’une série divergente. On s’attend donc à ce que S admette une limite
infinie en +∞.
La croissance de S sur R permet d’affirmer que S admet une limite en +∞ soit
finie, soit infinie. Supposons que cette limite soit finie et notons la . Pour x > 0,
S(x)
N
n=1
1
n
Arctan(x/n), où N est un entier naturel fixé. En faisant tendre x
vers +∞, on obtient
N
n=1
p
2n
et cela pour tout N ∈ N
∗ . Lorsque N tend vers
+∞, on obtient une contradiction et finalement lim
x→+∞
S(x) = +∞.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit