136 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
également vers +∞ donc u n (x) ∼
n→+∞
ln(e
nx )/n
3 = x/n
2 . Il y a donc convergence
pour tout x ∈ R.
2. Chaque fonction u n est continue sur R, il suffit donc de prouver la convergence
normale de la série. On n’a évidemment pas convergence normale sur R puisque
lim
x→+∞
u n (x) = +∞. On doit limiter les valeurs de x. Soit A ∈ R. On a, pour tout
x ∈ ] − ∞, A] et pour tout n ∈ N
∗ , |u n (x)| |u n (A)| puisque x → u n (x) est
croissante et positive sur R. La série converge donc normalement sur ] − ∞, A]
et f est continue sur tout intervalle ] − ∞, A], A réel quelconque, donc f est
continue sur R.
3. Pour tout n ∈ N, u n est C
1 sur R avec, pour tout x > 0,
u
n (x) =
ne
nx
(n + e nx )n 3 =
e
nx
n + e nx
1
n 2 ,
on obtient alors facilement 0 u
n (x)
1
n 2 pour tout x ∈ R. On a donc convergence normale de la série des dérivées sur R, les autres propriétés pour appliquer
le théorème de dérivation ayant été vérifiées, la fonction f est de classe C
1 sur R.
Remarque
Le théorème de dérivabilité donne également la continuité. On aurait donc pu se
passer de la partie où on démontre la continuité.
6.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 6.10
Mines-Ponts PC 2006
Pour n ∈ N
∗ , on définit f n sur R par f n (x) =
1
n
Arctan(
x
n
).
1. Montrer que la série de fonctions
f n converge simplement sur R et que sa
somme S =
+∞
n=1
f n est continue sur R.
2. Montrer que S est de classe C
1 sur R et étudier les variations de S.
3. Justifier l’existence d’une limite, éventuellement infinie, pour S(x) lorsque x
tend vers +∞.
Indication de la rédaction : en supposant que cette limite est finie et en minorant la somme par une somme partielle, montrer qu’on obtient une contradiction. Conclure.
f n est continue sur R et impaire. On étudie donc la série de fonctions sur R
+ .