6.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 135
puisque chacune des séries géométriques
(e
−x
2
)
n et
(e
−a
2
)
n est de raison
dans [0, 1[. La fonction x →
x
a
S(t) dt est une primitive sur R
∗
+ de S, en la
dérivant, on obtient, pour tout x > 0,
S(x) =
1
2
2xe
−x
2
(1 − e −x 2 ) 2 =
xe
−x
2
(e −x 2 ) 2 (e x 2 /2 − e −x 2 /2 ) 2 =
x
4 sh
2
x
2
2
.
Ce qu’il faut savoir
Dérivation
Soit
f n une série de fonctions de classe C
1 sur I . Si
(i)
f n converge simplement sur I . On note S =
+∞
n=0
f n ,
(ii)
f
n converge normalement (et/ou uniformément - PSI) sur I . On note
T =
+∞
n=0
f
n ,
alors S est de classe C
1 sur I et pour tout x ∈ I , S
(x) = T (x) =
+∞
n=0
f
n (x).
Exercice 6.9
CCP PSI 2005
Soit la fonction f : x →
+∞
n=1
ln(n + e
nx )
n 3
.
1. Montrer que f est définie sur R.
2. Montrer que f est continue sur D.
3. La fonction f est-elle C
1 sur D ?
1. On cherche un équivalent simple de u n (x) =
ln(n + e
nx )
n 3
lorsque n tend vers +∞.
Il n’est pas le même suivant le signe de x. Si x 0, ln(n + e
nx ) ∼
n→+∞
ln n (car
n + e
nx
∼ n de limite infinie), donc u n (x) ∼
n→+∞
ln n
n 3 négligeable devant 1/n
2 en
+∞. Donc la série converge si x 0. En revanche si x > 0, n + e
nx
∼ e
nx qui tend
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