134 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
n 2 et 1 lorsque n = 1. Cela permet d’écrire
lim
x→+∞
+∞
n=1
v n (x) = lim
x→+∞
e
x S(x) = 1.
Ce qu’il faut savoir
Intégration sur un segment
Soit
f n une série de fonctions continues qui converge normalement (et/ou
uniformément - PSI) sur un segment [a, b]. Alors S =
+∞
n=0
f n est continue sur
[a, b] et
b
a
S(t) dt =
b
a
+∞
n=0
f n (t) dt
.
Exercice 6.8
CCP PC 2006
Soit, pour n ∈ N, f n : x → nxe
−nx
2
.
1. Montrer que
f n converge normalement sur tout segment de R
∗ . On note S
sa somme. Montrer que S est impaire.
2. Soit a > 0. Calculer pour x > 0,
x
a
S(t) dt et en déduire S.
1. Soit [a, b] ⊂ R
∗
+ . Pour tout x ∈ [a, b], on a | f n (x)| nbe
−na
2
. La série
nbe
−na
2
converge car nbe
−na
2
=
o
n→+∞
1
n 2
car a > 0. Ainsi
f n
converge normalement sur tout segment [a, b] ⊂ R
∗
+ . On montre de la même
façon que
f n converge normalement sur tout segment de R
∗
− . Pour tout
N ∈ N et x ∈ R
∗ , on a
N
n=0
f n (−x) = −
N
n=0
f n (x), ce qui donne S(−x) = −S(x)
lorsque N tend vers +∞. La fonction S est donc impaire.
2. La série de fonctions
f n converge normalement sur le segment [a, x] (ou
[x, a]), on peut intervertir somme et intégrale, ainsi
x
a
S(t) dt =
+∞
n=0
x
a
nte
−nt
2
dt = −
1
2
+∞
n=0
e
−nt
2
x
a
= −
1
2
1
1 − e −x 2 −
1
1 − e −a 2
,