6.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 133
Exercice 6.7
CCP MP 2007, Centrale PC 2007
1. Étudier la convergence simple de la série
u n où u n (x) = exp(−x
√
n) pour
n ∈ N
∗ . On note S la somme de cette série de fonctions.
2. Montrer que S est continue sur R
∗
+ .
3. Montrer que lim
x→+∞
S(x) = 0.
4. Montrer que S est décroissante sur R
∗
+ .
5. Montrer que S(x) ∼
x→+∞
e
−x .
1. Chacune des fonctions u n est définie sur R. Si x < 0, la suite (u n (x)) n diverge
vers +∞ donc la série associée diverge. Pour tout n ∈ N
∗ , on a u n (0) = 1 et
la série
u n (0) diverge également. Si x > 0, par croissances comparées, on a
lim
n→+∞
n
2 e
−x
√
n = 0 donc u n (x) est négligeable devant 1/n
2 lorsque n tend vers
+∞. Ainsi la série
u n converge simplement sur R
∗
+ .
2. La fonction u n est décroissante, positive sur R
∗
+ si bien que u n ∞,R ∗
+
= 1. La
série de fonctions
u n ne converge pas normalement sur R
∗
+ . Soit a > 0,
pour les mêmes raisons que précédemment, on a u n ∞,[a,+∞[ = u n (a). Puisque
u n (a) converge, la série de fonctions
u n converge normalement sur
[a, +∞[. Chacune des fonctions u n étant continue sur R
∗
+ , la somme S est
continue sur [a, +∞[ pour tout a > 0. Donc S est continue sur R
∗
+ .
3. La série
u n converge normalement sur [1, +∞[, et pour tout n ∈ N
∗ , on a
lim
x→+∞
u n (x) = 0. Donc lim
x→+∞
S(x) = 0.
4. Pour tout n ∈ N
∗ , la fonction u n est décroissante sur R
∗
+ . La fonction S est donc
décroissante sur R
∗
+ . En effet, si x > y, pour tout N ∈ N
∗ , on a S N (x) S N (y)
(S N désigne la somme partielle d’ordre N de la série
u n ), ce qui donne, lorsque
N tend vers +∞, l’inégalité S(x) S(y).
5. On va montrer que S(x) ∼
x→+∞
e
−x ce qui équivaut à montrer lim
x→+∞
e
x S(x) = 1.
Pour n ∈ N
∗ , on définit v n (x) = e
x u n (x) pour x > 0. Pour tout n ∈ N
∗ , on a
v n ∞,[1,+∞[ = v n (1) car la fonction v n est positive et décroissante sur [1, +∞[.
Puisque v n (1) = e
1−
√
n = o
n→+∞
(
1
n 2 ), la série
v n converge normalement sur
[1, +∞[. Chacune des fonctions v n admet une limite finie en +∞, à savoir 0 pour
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Exercice 6.7
CCP MP 2007, Centrale PC 2007
1. Étudier la convergence simple de la série
u n où u n (x) = exp(−x
√
n) pour
n ∈ N
∗ . On note S la somme de cette série de fonctions.
2. Montrer que S est continue sur R
∗
+ .
3. Montrer que lim
x→+∞
S(x) = 0.
4. Montrer que S est décroissante sur R
∗
+ .
5. Montrer que S(x) ∼
x→+∞
e
−x .
1. Chacune des fonctions u n est définie sur R. Si x < 0, la suite (u n (x)) n diverge
vers +∞ donc la série associée diverge. Pour tout n ∈ N
∗ , on a u n (0) = 1 et
la série
u n (0) diverge également. Si x > 0, par croissances comparées, on a
lim
n→+∞
n
2 e
−x
√
n = 0 donc u n (x) est négligeable devant 1/n
2 lorsque n tend vers
+∞. Ainsi la série
u n converge simplement sur R
∗
+ .
2. La fonction u n est décroissante, positive sur R
∗
+ si bien que u n ∞,R ∗
+
= 1. La
série de fonctions
u n ne converge pas normalement sur R
∗
+ . Soit a > 0,
pour les mêmes raisons que précédemment, on a u n ∞,[a,+∞[ = u n (a). Puisque
u n (a) converge, la série de fonctions
u n converge normalement sur
[a, +∞[. Chacune des fonctions u n étant continue sur R
∗
+ , la somme S est
continue sur [a, +∞[ pour tout a > 0. Donc S est continue sur R
∗
+ .
3. La série
u n converge normalement sur [1, +∞[, et pour tout n ∈ N
∗ , on a
lim
x→+∞
u n (x) = 0. Donc lim
x→+∞
S(x) = 0.
4. Pour tout n ∈ N
∗ , la fonction u n est décroissante sur R
∗
+ . La fonction S est donc
décroissante sur R
∗
+ . En effet, si x > y, pour tout N ∈ N
∗ , on a S N (x) S N (y)
(S N désigne la somme partielle d’ordre N de la série
u n ), ce qui donne, lorsque
N tend vers +∞, l’inégalité S(x) S(y).
5. On va montrer que S(x) ∼
x→+∞
e
−x ce qui équivaut à montrer lim
x→+∞
e
x S(x) = 1.
Pour n ∈ N
∗ , on définit v n (x) = e
x u n (x) pour x > 0. Pour tout n ∈ N
∗ , on a
v n ∞,[1,+∞[ = v n (1) car la fonction v n est positive et décroissante sur [1, +∞[.
Puisque v n (1) = e
1−
√
n = o
n→+∞
(
1
n 2 ), la série
v n converge normalement sur
[1, +∞[. Chacune des fonctions v n admet une limite finie en +∞, à savoir 0 pour
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