132 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
◦
n converge
◦ la somme S =
+∞
n=0
f n admet pour limite
+∞
n=0
n en a.
Ce résultat est connu sous le nom de théorème de permutation des limites.
• Soit
f n une série de fonctions continues sur I qui converge normalement
sur I alors sa somme S est continue sur I .
Ce qu’il faut savoir
Très important : aspect local de la continuité
Lorsqu’on souhaite démontrer la continuité de la somme (ou par la suite sa dérivabilité) sur un intervalle I mais qu’on n’arrive pas à démontrer la convergence
normale ou uniforme sur cet intervalle, on peut restreindre l’étude à des sousintervalles (souvent des segments) qui forment un recouvrement de I . C’est suffisant car la continuité est une propriété locale de la fonction et la continuité sur
chacun des intervalles donnera celle sur leur union (quelle que soit l’union). On
détecte la borne ou les bornes de I qui posent problème et on essaie de s’en écarter
(voir 6.7, 6.8, 6.9). En revanche, et c’est très important, la convergence uniforme
ou normale sur chacun des intervalles ne donnera pas celle sur I tout entier (on
ne pourra pas par exemple utiliser de théorème de permutation de limites).
Exercice 6.6
CCP PSI 2006, TPE PSI 2006
Soit n ∈ N
∗ et f n définie par f n (0) = 0 et f n (x) = x
n ln x si x ∈ ]0, 1]. Étudier
la convergence simple et normale de
f n sur [0, 1].
Il y a bien entendu convergence de
f n (0) et
f n (1) et la somme de la série
de fonctions est nulle en ces deux valeurs. Pour x ∈ ]0, 1[, la série géométrique
x
n ln x converge avec
+∞
n=1
x
n ln x =
x ln x
1 − x
. La série de fonctions converge simplement sur [0, 1]. On note S sa somme. La fonction S est continue sur [0, 1[ mais
elle ne l’est pas en 1 puisque lim
x→1
S(x) = −1 = S(1). Il ne peut donc y avoir convergence normale sur [0, 1]. Les résultats de l’exercice 6.1 nous confirment cela puisque
u n ∞,[0,1] =
1
ne
.
◦
n converge
◦ la somme S =
+∞
n=0
f n admet pour limite
+∞
n=0
n en a.
Ce résultat est connu sous le nom de théorème de permutation des limites.
• Soit
f n une série de fonctions continues sur I qui converge normalement
sur I alors sa somme S est continue sur I .
Ce qu’il faut savoir
Très important : aspect local de la continuité
Lorsqu’on souhaite démontrer la continuité de la somme (ou par la suite sa dérivabilité) sur un intervalle I mais qu’on n’arrive pas à démontrer la convergence
normale ou uniforme sur cet intervalle, on peut restreindre l’étude à des sousintervalles (souvent des segments) qui forment un recouvrement de I . C’est suffisant car la continuité est une propriété locale de la fonction et la continuité sur
chacun des intervalles donnera celle sur leur union (quelle que soit l’union). On
détecte la borne ou les bornes de I qui posent problème et on essaie de s’en écarter
(voir 6.7, 6.8, 6.9). En revanche, et c’est très important, la convergence uniforme
ou normale sur chacun des intervalles ne donnera pas celle sur I tout entier (on
ne pourra pas par exemple utiliser de théorème de permutation de limites).
Exercice 6.6
CCP PSI 2006, TPE PSI 2006
Soit n ∈ N
∗ et f n définie par f n (0) = 0 et f n (x) = x
n ln x si x ∈ ]0, 1]. Étudier
la convergence simple et normale de
f n sur [0, 1].
Il y a bien entendu convergence de
f n (0) et
f n (1) et la somme de la série
de fonctions est nulle en ces deux valeurs. Pour x ∈ ]0, 1[, la série géométrique
x
n ln x converge avec
+∞
n=1
x
n ln x =
x ln x
1 − x
. La série de fonctions converge simplement sur [0, 1]. On note S sa somme. La fonction S est continue sur [0, 1[ mais
elle ne l’est pas en 1 puisque lim
x→1
S(x) = −1 = S(1). Il ne peut donc y avoir convergence normale sur [0, 1]. Les résultats de l’exercice 6.1 nous confirment cela puisque
u n ∞,[0,1] =
1
ne
.