6.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 131
(PSI) Lorsqu’il n’y a pas convergence normale mais convergence simple de la
série de fonctions, l’écart S n (x) − S(x) est égal à R n (x) =
+∞
k=n+1
f k (x). Pour
établir la convergence uniforme de la série de fonctions, il faut montrer que la
suite (R n ∞ ) tend vers 0.
Exercice 6.5
CCP MP 2006
Soit a ∈ R. On définit pour n ∈ N
∗ et x ∈ [0, 1], f n (x) =
x
n
n a exp(−nx).
1. Déterminer pour b ∈ R et x ∈ [0, 1], la limite lorsque n tend vers +∞ de
n
b f n (x).
2. Étudier la convergence simple de la série
f n .
3. Pour quelles valeurs de a a-t-on convergence normale sur [0, 1] ?
1. Pour x ∈ [0, 1], |n
b u n (x)| n
b−a x
n et, par croissances comparées, pour tout
x ∈ [0, 1[, lim
n→+∞
n
b u n (x) = 0. La majoration ne donne pas toujours le résultat si
x = 1. En revanche, on a n
b u n (1) = n
b−a exp(−n) et par croissances comparées,
on a également lim
n→+∞
n
b u n (1) = 0.
2. D’après la question précédente, pour tout x ∈ [0, 1], u n (x) = o
n→+∞
(
1
n 2 ) et la
série
u n converge simplement sur [0, 1].
3. On peut étudier les variations de u n ou bien constater que u n (x) =
(xe
−x )
n
n a . En
étudiant les variations de x → xe
−x , on montre que cette fonction est croissante
sur [0, 1] avec des valeurs allant de 0 à 1/e. Ainsi, on obtient u n ∞ =
e
−n
n a = a n .
Or
a n converge puisque, pour tout n ∈ N
∗ , a n > 0 et lim
n→+∞
a n+1
a n
=
1
e
. La
convergence de la série
u n est normale sur [0, 1], quelle que soit la valeur de a.
Ce qu’il faut savoir
Limite et continuité de la somme d’une série de fonctions
• Soit ( f n ) n∈N une suite de fonctions définies sur I et a adhérent à I . Si chacune
des fonctions f n admet une limite finie n en a et si
f n converge (uniformément) normalement sur I alors
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
(PSI) Lorsqu’il n’y a pas convergence normale mais convergence simple de la
série de fonctions, l’écart S n (x) − S(x) est égal à R n (x) =
+∞
k=n+1
f k (x). Pour
établir la convergence uniforme de la série de fonctions, il faut montrer que la
suite (R n ∞ ) tend vers 0.
Exercice 6.5
CCP MP 2006
Soit a ∈ R. On définit pour n ∈ N
∗ et x ∈ [0, 1], f n (x) =
x
n
n a exp(−nx).
1. Déterminer pour b ∈ R et x ∈ [0, 1], la limite lorsque n tend vers +∞ de
n
b f n (x).
2. Étudier la convergence simple de la série
f n .
3. Pour quelles valeurs de a a-t-on convergence normale sur [0, 1] ?
1. Pour x ∈ [0, 1], |n
b u n (x)| n
b−a x
n et, par croissances comparées, pour tout
x ∈ [0, 1[, lim
n→+∞
n
b u n (x) = 0. La majoration ne donne pas toujours le résultat si
x = 1. En revanche, on a n
b u n (1) = n
b−a exp(−n) et par croissances comparées,
on a également lim
n→+∞
n
b u n (1) = 0.
2. D’après la question précédente, pour tout x ∈ [0, 1], u n (x) = o
n→+∞
(
1
n 2 ) et la
série
u n converge simplement sur [0, 1].
3. On peut étudier les variations de u n ou bien constater que u n (x) =
(xe
−x )
n
n a . En
étudiant les variations de x → xe
−x , on montre que cette fonction est croissante
sur [0, 1] avec des valeurs allant de 0 à 1/e. Ainsi, on obtient u n ∞ =
e
−n
n a = a n .
Or
a n converge puisque, pour tout n ∈ N
∗ , a n > 0 et lim
n→+∞
a n+1
a n
=
1
e
. La
convergence de la série
u n est normale sur [0, 1], quelle que soit la valeur de a.
Ce qu’il faut savoir
Limite et continuité de la somme d’une série de fonctions
• Soit ( f n ) n∈N une suite de fonctions définies sur I et a adhérent à I . Si chacune
des fonctions f n admet une limite finie n en a et si
f n converge (uniformément) normalement sur I alors
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit