130 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
Puisque sin x n et cos x n sont strictement positifs, on peut écrire
y n =
√
n
n
n + 1
n/2
1
√
n + 1
=
√
n exp
n
2
ln(1 −
1
n + 1
)
1
√
n + 1
avec
n
2
ln(1 −
1
n + 1
) ∼
n→+∞
n
2
−1
n
= −
1
2
, on obtient y n ∼
n→+∞
e
−1/2
√
n
√
n
et enfin
lim
n→+∞
f n ∞ = e
−1/2 . La convergence de la suite de fonctions ( f n ) n’est donc
pas uniforme.
Remarque
Comme l’exercice précédent, la convergence uniforme sur un segment est une
hypothèse suffisante pour permuter limite et intégrale mais elle n’est pas nécessaire.
6.1.2 Convergences des séries de fonctions et propriétés
Ce qu’il faut savoir
Soit ( f n ) une suite de fonctions définies sur I . On note (S n ) la suite des sommes
partielles de la série
f n .
• La série de fonctions
f n converge simplement sur I , lorsque pour tout
x ∈ I , la série numérique
f n (x) converge. On pose alors pour tout x ∈ I ,
S(x) = lim
n→+∞
S n (x) =
+∞
n=0
f n (x).
• (PSI) La série
f n converge uniformément sur I , lorsque la suite de fonctions
(S n ) converge uniformément vers S sur I .
• La série
f n converge normalement sur I lorsque
f n ∞ converge.
Remarque importante
Convergence normale ⇒ convergence uniforme ⇒ convergence simple, les
implications réciproques sont fausses.
En pratique : on essaie d’abord de prouver la convergence normale. Pour cela,
on cherche un majorant a n de f n ∞ tel que la série numérique
a n converge
(si on ne trouve pas un majorant de manière simple, on étudie les variations de
f n ).