6.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 129
Chaque fonction f n est donc continue sur [0, p] et la convergence n’est pas uniforme sur [0, p].
2. Soit a ∈]0, p[. On essaie de majorer sup
x∈[a,p]
| f n (x) − f (x)| = sup
x∈[a,p]
| f n (x)|.
Or, pour tout x ∈ [a, p], on a 1 + nx 1 + na, x(1 + nx) a(1 + na) et
0 sin x 1. Ainsi, pour tout x ∈ [a, p], 0 f n (x)
1
a(1 + na)
. Ainsi
f n ∞,[a,p]
1
a(1 + na)
de limite nulle lorsque n tend vers +∞ et la convergence
est uniforme sur l’intervalle [a, p] (on aurait également pu utiliser le fait que pour
x ∈ R
+ , on a 0 sin x x pour obtenir une majoration | f n (x)|
1
1 + nx
si
x ∈ ]0, p] puis | f n (x)|
1
1 + na
si x ∈ [a, p]).
Exercice 6.4
CCP PSI 2005
On définit pour n ∈ N
∗ , f n (x) =
√
n cos x(sin x)
n
1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions ( f n ) sur [0, p/2].
2. Calculer lim
n→+∞
p/2
0
f n (t) dt et
p/2
0
f (t) dt.
3. (PSI) La suite ( f n ) converge-t-elle uniformément sur [0, p/2].
1. Si x ∈ [0, p[, on a | sin x| < 1 et par croissances comparées, on obtient
lim
n→+∞
f n (x) = 0. De plus f n (p/2) = 0. Donc la suite ( f n ) converge simplement
vers la fonction nulle sur
0, p/2
, qu’on notera f .
2. Il est immédiat que
p/2
0
f (t) dt = 0. Pour n ∈ N
∗ ,
p/2
0
√
n cos x(sin x)
n dt =
√
n
(sin x)
n+1
n + 1
p/2
0
=
√
n
n + 1
,
ainsi lim
n→+∞
p/2
0
f n (t) dt = 0 =
p/2
0
f (t) dt.
3. Le calcul précédent ne permet pas de conclure. On utilise les résultats de l’exercice
6.2, ce qui permet de montrer que f n ∞ = f n (x n ) avec x n = Arctan
√
n. On peut
obtenir un équivalent simple de la valeur du maximum f n (x n ) = y n . On a
tan
2 x n = n, cos
2 x n =
1
n + 1
et sin
2 x n =
n
n + 1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Chaque fonction f n est donc continue sur [0, p] et la convergence n’est pas uniforme sur [0, p].
2. Soit a ∈]0, p[. On essaie de majorer sup
x∈[a,p]
| f n (x) − f (x)| = sup
x∈[a,p]
| f n (x)|.
Or, pour tout x ∈ [a, p], on a 1 + nx 1 + na, x(1 + nx) a(1 + na) et
0 sin x 1. Ainsi, pour tout x ∈ [a, p], 0 f n (x)
1
a(1 + na)
. Ainsi
f n ∞,[a,p]
1
a(1 + na)
de limite nulle lorsque n tend vers +∞ et la convergence
est uniforme sur l’intervalle [a, p] (on aurait également pu utiliser le fait que pour
x ∈ R
+ , on a 0 sin x x pour obtenir une majoration | f n (x)|
1
1 + nx
si
x ∈ ]0, p] puis | f n (x)|
1
1 + na
si x ∈ [a, p]).
Exercice 6.4
CCP PSI 2005
On définit pour n ∈ N
∗ , f n (x) =
√
n cos x(sin x)
n
1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions ( f n ) sur [0, p/2].
2. Calculer lim
n→+∞
p/2
0
f n (t) dt et
p/2
0
f (t) dt.
3. (PSI) La suite ( f n ) converge-t-elle uniformément sur [0, p/2].
1. Si x ∈ [0, p[, on a | sin x| < 1 et par croissances comparées, on obtient
lim
n→+∞
f n (x) = 0. De plus f n (p/2) = 0. Donc la suite ( f n ) converge simplement
vers la fonction nulle sur
0, p/2
, qu’on notera f .
2. Il est immédiat que
p/2
0
f (t) dt = 0. Pour n ∈ N
∗ ,
p/2
0
√
n cos x(sin x)
n dt =
√
n
(sin x)
n+1
n + 1
p/2
0
=
√
n
n + 1
,
ainsi lim
n→+∞
p/2
0
f n (t) dt = 0 =
p/2
0
f (t) dt.
3. Le calcul précédent ne permet pas de conclure. On utilise les résultats de l’exercice
6.2, ce qui permet de montrer que f n ∞ = f n (x n ) avec x n = Arctan
√
n. On peut
obtenir un équivalent simple de la valeur du maximum f n (x n ) = y n . On a
tan
2 x n = n, cos
2 x n =
1
n + 1
et sin
2 x n =
n
n + 1
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit