128 Chap. 6. Suites et séries de fonctions
s’annule en x n = Arctan
√
n en étant positif avant, négatif après. Ainsi | f n | admet
son maximum en x n = Arctan
√
n ∈ ]0, p/2[. Ce maximum vérifie
| f n (x n )| = | sin x n |
n cos(x n ) cos(x n ) = cos(Arctan(
√
n)).
Puisque lim
n→+∞
x n = p/2, on obtient lim
n→+∞
cos x n = 0, ce qui donne
lim
n→+∞
f n ∞,I = 0.
La convergence est uniforme sur I .
Ce qu’il faut savoir
(PSI) - Propriétés liées à la convergence uniforme
• Si ( f n ) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f
sur I , alors f est continue sur I .
• Si ( f n ) est une suite de fonctions continues sur un segment [a, b] qui converge
uniformément vers f sur [a, b] alors lim
n→+∞
b
a
f n (t) dt =
b
a
f (t) dt.
Remarque
On utilise assez fréquemment la contraposée d’une de ces propositions pour
montrer qu’une suite de fonctions continues sur I ne converge pas uniformément sur I . Par exemple, on montre que la limite simple n’est pas continue.
Exercice 6.3
Air PSI 2005 (PSI)
On définit pour n ∈ N
∗ une fonction f n sur [0, p] par f n (0) = 1 et
f n (x) =
sin x
x(1 + nx)
si x = 0.
1. Étudier la convergence simple et uniforme sur [0, p] de la suite de fonctions
( f n ).
2. Soit a ∈ ]0, p[. Étudier la convergence uniforme sur [a, p] de cette suite ( f n ).
1. On a immédiatement lim
n→+∞
f n (0) = 1 et lim
n→+∞
f n (x) = 0 si x ∈ ]0, p]. La suite
de fonctions ( f n ) converge donc simplement sur [0, p] vers la fonction f définie
par f (x) = 0 si x = 0 et f (0) = 1.
La fonction f n’est pas continue sur [0, p]. Nous allons montrer que chacune des
fonctions f n est continue sur [0, p] ce qui prouvera que la convergence ne peut
pas être uniforme sur [0, p] (sinon la limite f serait continue). Soit n ∈ N. La
fonction f n est continue sur ]0, p] et
lim
x→0 +
f n (x) = 1 car lim
x→0 +
sin x
x
= 1.
s’annule en x n = Arctan
√
n en étant positif avant, négatif après. Ainsi | f n | admet
son maximum en x n = Arctan
√
n ∈ ]0, p/2[. Ce maximum vérifie
| f n (x n )| = | sin x n |
n cos(x n ) cos(x n ) = cos(Arctan(
√
n)).
Puisque lim
n→+∞
x n = p/2, on obtient lim
n→+∞
cos x n = 0, ce qui donne
lim
n→+∞
f n ∞,I = 0.
La convergence est uniforme sur I .
Ce qu’il faut savoir
(PSI) - Propriétés liées à la convergence uniforme
• Si ( f n ) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers f
sur I , alors f est continue sur I .
• Si ( f n ) est une suite de fonctions continues sur un segment [a, b] qui converge
uniformément vers f sur [a, b] alors lim
n→+∞
b
a
f n (t) dt =
b
a
f (t) dt.
Remarque
On utilise assez fréquemment la contraposée d’une de ces propositions pour
montrer qu’une suite de fonctions continues sur I ne converge pas uniformément sur I . Par exemple, on montre que la limite simple n’est pas continue.
Exercice 6.3
Air PSI 2005 (PSI)
On définit pour n ∈ N
∗ une fonction f n sur [0, p] par f n (0) = 1 et
f n (x) =
sin x
x(1 + nx)
si x = 0.
1. Étudier la convergence simple et uniforme sur [0, p] de la suite de fonctions
( f n ).
2. Soit a ∈ ]0, p[. Étudier la convergence uniforme sur [a, p] de cette suite ( f n ).
1. On a immédiatement lim
n→+∞
f n (0) = 1 et lim
n→+∞
f n (x) = 0 si x ∈ ]0, p]. La suite
de fonctions ( f n ) converge donc simplement sur [0, p] vers la fonction f définie
par f (x) = 0 si x = 0 et f (0) = 1.
La fonction f n’est pas continue sur [0, p]. Nous allons montrer que chacune des
fonctions f n est continue sur [0, p] ce qui prouvera que la convergence ne peut
pas être uniforme sur [0, p] (sinon la limite f serait continue). Soit n ∈ N. La
fonction f n est continue sur ]0, p] et
lim
x→0 +
f n (x) = 1 car lim
x→0 +
sin x
x
= 1.