6.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 127
2. (PSI) Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions ( f n ).
1. la fonction f n est à valeurs négatives et continue sur [0, 1] si n ∈ N
∗ . Puisque, pour
tout n ∈ N
∗ , f n (1) = f n (0) = 0, on en déduit lim
n→+∞
f n (1) = lim
n→+∞
f n (0) = 0.
Si x ∈ ]0, 1[, la suite géométrique (x
n ln x) converge vers 0. Ainsi ( f n ) converge
simplement vers la fonction nulle sur [0, 1].
2. On ne trouve pas de majorant simple pour | f n (x)| indépendant de x. On étudie les
variations de f n − 0 = f n afin de déterminer le maximum de | f n | sur [0, 1]. Pour
tout x ∈ ]0, 1], on a f
n (x) = nx
n−1 ln x + x
n−1 = x
n−1 (1 + n ln x). Cela donne le
tableau de variations suivant si n ∈ N
∗ .
x 0
e
−1/n
1
f
n (x)
−
+
f n (x)
0
−
1
e.n
0
Ainsi f n ∞,[0,1] =
1
ne
, de limite nulle lorsque n tend vers +∞. La suite ( f n )
converge uniformément sur [0, 1] vers la fonction nulle.
Exercice 6.2
CCP PSI 2005
Soit I = [0, p/2] et f n la fonction définie sur I par f n (x) = (sin x)
n cos x.
1. Étudier la convergence simple de ( f n ) sur I .
2. (PSI) Étudier la convergence uniforme de ( f n ) sur I .
1. Convergence simple : soit x ∈ I . On voit apparaître une suite géométrique de
raison sin x. Si x =
p
2
alors sin x vaut 1 mais cos x = 0. Dans ce cas, pour
tout n ∈ N, f n (x) = 0 et lim
n→+∞
f n (x) = 0. Sinon | sin x| < 1 et on a également
lim
n→+∞
f n (x) = 0. La suite ( f n ) converge simplement vers la fonction nulle sur I .
2. Convergence uniforme : f n est positive et f n (0) = f n (p/2) = 0. On étudie les
variations de f n sur I car on ne trouve pas directement de majorant qui permettrait
de conclure. Pour tout x ∈ [0, p/2],
f
n (x) = n(sin x)
n−1 cos
2 x − (sin x)
n+1 = (sin x)
n−1 (n cos
2 x − sin
2 x)
Le facteur (sin x)
n−1 ne s’annule qu’en 0, alors que
n cos
2 x − sin
2 x = (
√
n cos x + sin x)(
√
n cos x − sin x)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
2. (PSI) Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions ( f n ).
1. la fonction f n est à valeurs négatives et continue sur [0, 1] si n ∈ N
∗ . Puisque, pour
tout n ∈ N
∗ , f n (1) = f n (0) = 0, on en déduit lim
n→+∞
f n (1) = lim
n→+∞
f n (0) = 0.
Si x ∈ ]0, 1[, la suite géométrique (x
n ln x) converge vers 0. Ainsi ( f n ) converge
simplement vers la fonction nulle sur [0, 1].
2. On ne trouve pas de majorant simple pour | f n (x)| indépendant de x. On étudie les
variations de f n − 0 = f n afin de déterminer le maximum de | f n | sur [0, 1]. Pour
tout x ∈ ]0, 1], on a f
n (x) = nx
n−1 ln x + x
n−1 = x
n−1 (1 + n ln x). Cela donne le
tableau de variations suivant si n ∈ N
∗ .
x 0
e
−1/n
1
f
n (x)
−
+
f n (x)
0
−
1
e.n
0
Ainsi f n ∞,[0,1] =
1
ne
, de limite nulle lorsque n tend vers +∞. La suite ( f n )
converge uniformément sur [0, 1] vers la fonction nulle.
Exercice 6.2
CCP PSI 2005
Soit I = [0, p/2] et f n la fonction définie sur I par f n (x) = (sin x)
n cos x.
1. Étudier la convergence simple de ( f n ) sur I .
2. (PSI) Étudier la convergence uniforme de ( f n ) sur I .
1. Convergence simple : soit x ∈ I . On voit apparaître une suite géométrique de
raison sin x. Si x =
p
2
alors sin x vaut 1 mais cos x = 0. Dans ce cas, pour
tout n ∈ N, f n (x) = 0 et lim
n→+∞
f n (x) = 0. Sinon | sin x| < 1 et on a également
lim
n→+∞
f n (x) = 0. La suite ( f n ) converge simplement vers la fonction nulle sur I .
2. Convergence uniforme : f n est positive et f n (0) = f n (p/2) = 0. On étudie les
variations de f n sur I car on ne trouve pas directement de majorant qui permettrait
de conclure. Pour tout x ∈ [0, p/2],
f
n (x) = n(sin x)
n−1 cos
2 x − (sin x)
n+1 = (sin x)
n−1 (n cos
2 x − sin
2 x)
Le facteur (sin x)
n−1 ne s’annule qu’en 0, alors que
n cos
2 x − sin
2 x = (
√
n cos x + sin x)(
√
n cos x − sin x)
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