6 Suites et séries
de fonctions
La notion de convergence uniforme ne se trouve que dans le programme de la filière
PSI. Les rappels de cours ainsi que les questions utilisant cette notion seront marqués
(PSI).
6.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Dans toute cette partie I désigne un intervalle de R.
6.1.1 Convergence des suites de fonctions
Ce qu’il faut savoir
On donne une suite de fonctions ( f n ) n∈N toutes définies sur I , à valeurs réelles ou
complexes.
• On dit que la suite ( f n ) n∈N converge simplement vers f sur I , lorsque pour tout
x ∈ I la suite numérique ( f n (x)) n∈N converge vers f (x).
En pratique, on fixe x dans I et on cherche la limite (si elle existe) de la suite
numérique ( f n (x)) n .
• (PSI) On dit que ( f n ) n∈N converge uniformément vers f sur I lorsque la suite
de terme général
f n − f ∞,I = sup
x∈I
| f n (x) − f (x)|
converge vers 0.
En pratique, on commence par déterminer la limite simple f (si on a convergence uniforme vers f alors f est la limite simple de la suite), et on étudie
l’écart | f n − f | sur I en le majorant par une suite qui tend vers 0, ou si cela
n’est pas immédiat, en étudiant les variations de f n − f sur I .
Exercice 6.1
CCP PSI 2006, ENSEA MP 2006
Soit f n la suite de fonctions définies sur [0, 1] par f n (0) = 0 et f n (x) = x
n ln x
si x ∈ ]0, 1].
1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions ( f n ).
de fonctions
La notion de convergence uniforme ne se trouve que dans le programme de la filière
PSI. Les rappels de cours ainsi que les questions utilisant cette notion seront marqués
(PSI).
6.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
Dans toute cette partie I désigne un intervalle de R.
6.1.1 Convergence des suites de fonctions
Ce qu’il faut savoir
On donne une suite de fonctions ( f n ) n∈N toutes définies sur I , à valeurs réelles ou
complexes.
• On dit que la suite ( f n ) n∈N converge simplement vers f sur I , lorsque pour tout
x ∈ I la suite numérique ( f n (x)) n∈N converge vers f (x).
En pratique, on fixe x dans I et on cherche la limite (si elle existe) de la suite
numérique ( f n (x)) n .
• (PSI) On dit que ( f n ) n∈N converge uniformément vers f sur I lorsque la suite
de terme général
f n − f ∞,I = sup
x∈I
| f n (x) − f (x)|
converge vers 0.
En pratique, on commence par déterminer la limite simple f (si on a convergence uniforme vers f alors f est la limite simple de la suite), et on étudie
l’écart | f n − f | sur I en le majorant par une suite qui tend vers 0, ou si cela
n’est pas immédiat, en étudiant les variations de f n − f sur I .
Exercice 6.1
CCP PSI 2006, ENSEA MP 2006
Soit f n la suite de fonctions définies sur [0, 1] par f n (0) = 0 et f n (x) = x
n ln x
si x ∈ ]0, 1].
1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions ( f n ).