5.3 Exercices d’approfondissement 125
1) Soit C = AB = (c i j ) (i, j)∈[[1,d]] 2 . Pour tout (i, j) ∈ [[1, d]]
2 , c i j =
d
k=1
a ik b k j
donc |c i j |
d
k=1
|a ik | |b k j | d N (A)N (B). En passant au maximum, il vient
N ( AB) d N (A)N (B).
2) On en déduit par récurrence que, pour n 1, N ( A
n ) d
n−1 N (A)
n . Donc, pour
tout n 1, on a N
A
n
n!
1
d
(d N ( A))
n
n!
. La série
(d N (A))
n
n!
converge, donc
la série
N
A
n
n!
converge.
Pour tout (i , j) ∈ [[1, d]]
2 ,
S p
i, j
=
p
n=0
A
n
n!
i, j
.
Or comme
A
n
n!
i, j
N
A
n
n!
, la série numérique
n0
A
n
n!
i, j
est absolument convergente donc convergente. On en déduit que la suite des sommes partielles
S p
i, j
p∈N
converge.
3) On vérifie que A
2 = B
2 = 0 2 . Il vient que pour p 1,
p
n=0
A
n
n!
= I 2 + A, cette
suite stationnaire converge vers exp A = I 2 + A. De même, exp B = I 2 + B.
En revanche, C = A + B =
0 1
1 0
vérifie C
2 = I 2 , donc pour tout n ∈ N,
C
2n = I 2 et C
2n+1 = C. Il vient pour p 1,
2 p+1
n=0
C
n
n!
=
p
n=0
C
2n
(2n)!
+
p
n=0
C
2n+1
(2n + 1)!
=
p
n=0
I 2
(2n)!
+
p
n=0
C
(2n + 1)!
→
p→+∞
(ch 1) I 2 + (sh 1) C = exp(C) = exp( A + B)
On remarque que exp( A + B) = exp A exp B =
2 1
1 1
.
On montre que si AB = B A, alors on a bien exp( A + B) = exp A exp B (ici
AB = B A).
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit