124 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
Comme la suite ( A
n ) est bornée, on en déduit que la suite ( f ( A
n )) = (l
n X ) est
bornée. Il en résulte que chacune des coordonnées de la suite de vecteurs (l
n X )
est bornée, et comme l’une au moins des coordonnées de X est non nulle, la suite
(l
n ) est elle même bornée. On obtient finalement |l| 1.
3) On a C
2 = lim
n→+∞
(B
n
× B
n ) = lim
n→+∞
B
2n = C (d’après 1)) donc C est la matrice
d’un projecteur. C est diagonalisable et Sp(C) ⊂ {0, 1}.
D’après ce qui précède si l est valeur propre de B, alors |l| 1.
Montrons que |l| = 1 ⇒ l = 1. Soit donc l valeur propre de module 1.
Soit X un vecteur propre associé à l : B
n X = l
n X →
n→+∞
C X (d’après 1)).
donc (l
n ) n∈N converge donc
l
n+1
− l
n
= |l|
n |l − 1| = |l − 1| →
n→+∞
0 donc
l = 1. Ainsi Sp(B) ⊂ {l ∈ C | |l| < 1} ∪ {1}
4) Il existe P ∈ GL p (C) tel que M = P
−1 D P avec D diagonale.
On a D
n
→
n→+∞
0, M
n = P
−1 D
n P et N → P
−1 N P continue donc lim
n→+∞
M
n = 0
(d’après 1)).
Pour tout n ∈ N, M
n
∈ M p (Z). Chaque suite d’entiers correspondant à un coefficient (i, j) de la matrice M
n converge vers 0 donc est nulle à partir d’un certain
rang. En prenant le maximum des rangs à partir desquels les suites sont nulles, on
obtient un rang n 0 ∈ N tel que M
n 0 = 0.
M est nilpotente donc Sp(M) = {0}, de plus, M est diagonalisable donc M est
semblable à la matrice diagonale nulle donc M est la matrice nulle.
Exercice 5.33
Polytechnique PC 2006
Soient d ∈ N
∗ et N la norme définie sur M d (R) par N (M) = sup
1i, jd
|m i, j |
lorsque M = (m i j ) 1i, jd .
1) Trouver K > 0 tel que ∀(A, B) ∈ (M d (R))
2 , N ( AB) K N( A)N (B).
2) Soient A ∈ M d (R) et, pour tout p ∈ N, S p =
p
n=0
A
n
n!
. Montrer que
pour tout (i, j) ∈ {1, · · · , d}
2 la suite
S p
i, j
p∈N
converge. On note
exp A = lim
p→+∞
S p .
3) Application. Soient A =
0 1
0 0
, B =
0 0
1 0
. Déterminer exp A et
exp B. A-t-on exp( A + B) = exp A exp B ?