5.3 Exercices d’approfondissement 123
l’expression de R p suivante :
R p (1)
(X − a)(X − ¯
a)
(1 − a)(1 − ¯
a)
+ R p (a)
(X − 1)(X − ¯
a)
(a − 1)(a − ¯
a)
+ R p ( ¯
a)
(X − 1)(X − a)
( ¯
a − 1)( ¯
a − a)
.
Mais en raison de la relation X
p = P(X )Q p (X ) + R p (X ), on a R p (1) = 1,
R p (a) = a
p et R p ( ¯
a) = ¯
a
p . On en déduit finalement
A
p =
(A − aI n )(A − ¯
aI n )
(1 − a)(1 − ¯
a)
+ a
p (A − I n )(A − ¯
aI n )
(a − 1)(a − ¯
a)
+ ¯
a
p (A − I n )(A − aI n )
( ¯
a − 1)( ¯
a − a)
.
Comme |a| = 1/
√
3, les suites (a
p ) et ( ¯
a
p ) convergent vers 0 et donc la suite
( A
p ) converge vers L =
(A − aI n )(A − ¯
aI n )
(1 − a)(1 − ¯
a)
=
3A
2 + 2A + I n
6
.
Exercice 5.32
CCP PC 2006 Normes et valeurs propres
On munit M p (C) de la norme suivante : pour M = (m i j ) (i, j)∈[[1, p]] 2 ∈ M p (C),
M = max
(i, j)∈[[1, p]] 2
|m i j | .
1) Soient X ∈ M p1 (C) et P ∈ GL p (C).
Montrer que les applications f : M → M X et g : M → P
−1 M P sont continues sur M p (C).
Montrer que l’application h : (M, N ) → M N est continue sur M p (C)×M p (C).
2) Soit A ∈ M p (C) telle que la suite
A
n
n∈N
soit bornée.
Montrer que si l ∈ C est une valeur propre de A alors |l| 1.
3) Soit B ∈ M p (C) telle que la suite
B
n
n∈N
converge vers C ∈ M p (C).
Montrer que C
2 = C, que Sp(C) ⊂ {0, 1}
et que Sp(B) ⊂ {l ∈ C | |l| < 1} ∪ {1}.
4) On considère M ∈ M p (Z). On suppose que M est diagonalisable et que les
valeurs propres de M sont de module strictement inférieur à 1.
Déterminer lim
n→+∞
M
n . Montrer qu’il existe un rang n 0 ∈ N tel que M
n 0 = 0.
Conclure.
1) Les applications f et g sont linéaires et l’espace de départ est de dimension finie,
donc elles sont continues.
L’application h est bilinéaire et l’espace de départ est un produit de deux espaces
vectoriels de dimension finie. Elle est donc continue.
2) Soit X =
t (x 1 , ..., x p ) un vecteur propre associé à l. On a A
n X = l
n X .
Choisissons une norme sur l’espace vectoriel M p1 (C) (que nons noterons également ··). Comme f est une application linéaire, il existe une constante K telle
que f (M) K M pour tout M ∈ M p (C). On en déduit aisément que l’image
par f d’une suite bornée est une suite bornée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
l’expression de R p suivante :
R p (1)
(X − a)(X − ¯
a)
(1 − a)(1 − ¯
a)
+ R p (a)
(X − 1)(X − ¯
a)
(a − 1)(a − ¯
a)
+ R p ( ¯
a)
(X − 1)(X − a)
( ¯
a − 1)( ¯
a − a)
.
Mais en raison de la relation X
p = P(X )Q p (X ) + R p (X ), on a R p (1) = 1,
R p (a) = a
p et R p ( ¯
a) = ¯
a
p . On en déduit finalement
A
p =
(A − aI n )(A − ¯
aI n )
(1 − a)(1 − ¯
a)
+ a
p (A − I n )(A − ¯
aI n )
(a − 1)(a − ¯
a)
+ ¯
a
p (A − I n )(A − aI n )
( ¯
a − 1)( ¯
a − a)
.
Comme |a| = 1/
√
3, les suites (a
p ) et ( ¯
a
p ) convergent vers 0 et donc la suite
( A
p ) converge vers L =
(A − aI n )(A − ¯
aI n )
(1 − a)(1 − ¯
a)
=
3A
2 + 2A + I n
6
.
Exercice 5.32
CCP PC 2006 Normes et valeurs propres
On munit M p (C) de la norme suivante : pour M = (m i j ) (i, j)∈[[1, p]] 2 ∈ M p (C),
M = max
(i, j)∈[[1, p]] 2
|m i j | .
1) Soient X ∈ M p1 (C) et P ∈ GL p (C).
Montrer que les applications f : M → M X et g : M → P
−1 M P sont continues sur M p (C).
Montrer que l’application h : (M, N ) → M N est continue sur M p (C)×M p (C).
2) Soit A ∈ M p (C) telle que la suite
A
n
n∈N
soit bornée.
Montrer que si l ∈ C est une valeur propre de A alors |l| 1.
3) Soit B ∈ M p (C) telle que la suite
B
n
n∈N
converge vers C ∈ M p (C).
Montrer que C
2 = C, que Sp(C) ⊂ {0, 1}
et que Sp(B) ⊂ {l ∈ C | |l| < 1} ∪ {1}.
4) On considère M ∈ M p (Z). On suppose que M est diagonalisable et que les
valeurs propres de M sont de module strictement inférieur à 1.
Déterminer lim
n→+∞
M
n . Montrer qu’il existe un rang n 0 ∈ N tel que M
n 0 = 0.
Conclure.
1) Les applications f et g sont linéaires et l’espace de départ est de dimension finie,
donc elles sont continues.
L’application h est bilinéaire et l’espace de départ est un produit de deux espaces
vectoriels de dimension finie. Elle est donc continue.
2) Soit X =
t (x 1 , ..., x p ) un vecteur propre associé à l. On a A
n X = l
n X .
Choisissons une norme sur l’espace vectoriel M p1 (C) (que nons noterons également ··). Comme f est une application linéaire, il existe une constante K telle
que f (M) K M pour tout M ∈ M p (C). On en déduit aisément que l’image
par f d’une suite bornée est une suite bornée.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit