122 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
• Montrons que f || = . Soit n ∈ N
∗ . On a | f ()− f (u n )| k
| f () − | + | f (u n ) − u n |
,
d’où | f () − u n+1 | k
| f () − | + |u n+1 − u n |
.
En faisant tendre n vers +∞, on obtient
| f () − | k| f () − |.
Comme k ∈
0, 1/2
, on a alors | f () − | = 0 d’où f () = .
Remarque
Dans cet exercice on n’a utilisé aucune hypothèse de continuité sur la fonction f .
Exercice 5.31
CCP PSI 2006, Mines-Ponts PSI 2007K
Soit A dans M n (R) telle que 3A
3 = A
2 + A + I .
1) Montrer que la suite (A
k ) k0 converge vers la matrice d’un projecteur.
2) Exprimer la limite en fonction de A.
1) Le polynôme annulateur de A, P = 3X
3
− X
2
− X −1 est scindé à racines simples
dans C, en effet 1 est une racine évidente, il vient
P = (X − 1)(3X
2 + 2X + 1) = 3(X − 1)(X − a)(X − a) avec a =
−1 + i
√
2
3
.
Donc A est diagonalisable dans C, il existe P ∈ GL n (C) tel que
A = P
−1 diag(1, · · · , 1
m(1)
, a, · · · , a
m(a)
, a, · · · , a
m(a)=m(a)
)P.
Pour tout k ∈ N, A
k = P
−1 diag(1, · · · , 1, a
k , · · · , a
k , a
k , · · · , a
k )P. Comme
|a| =
1
√
3
< 1, il vient
lim
k→+∞
diag(1, · · · , 1, a
k , · · · , a
k , a
k , · · · , a
k ) =
I m(1)
0
0
0 n−m(1)
.
Comme l’application M → P
−1 M P est continue sur M n (C), on en déduit que
la suite (A
k ) k0 converge vers L = P
−1
I m(1)
0
0
0 n−m(1)
P qui est la matrice
d’une projecteur complexe a priori mais en fait réel puisque la suite de matrice est
réelle.
2) Remarquons que A
p = R p (A) où R p est le reste de la division euclidienne de X
p
par P.
Pour obtenir R p , qui est un polynôme de degré au plus 2, on utilise la base formée
des polynômes d’interpolation de Lagrange associés aux racines de P. On a alors