5.3 Exercices d’approfondissement 121
Notons S n (R) (resp. A n (R)) l’espace vectoriel des matrices symétriques (resp. antisymétriques) d’ordre n. Ce sont deux sous-espaces vectoriels de M n (R) donc ils sont
fermés. Soit B = lim
p→+∞
A
p .
Pour tout p ∈ N, la matrice A
2 p est symétrique (
t (A
2 p ) = (
t A)
2 p = (−A)
2 p = A
2 p )
et la matrice A
2 p+1 est antisymétrique. On en déduit que B = lim
p→+∞
A
2 p+1
est antisymétrique, et d’autre part que B = lim
p→+∞
A
2 p est symétrique. Comme
A n (R)∩S n (R) = {0}, il en résulte que B = 0.
5.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 5.30
ENSEA PSI 2007
Soit f une application de C dans C, telle que,
∃k ∈ ] 0, 1/2 [ , ∀(x, y) ∈ C
2 , | f (x) − f (y)| k(| f (x) − x| + | f (y) − y|) .
1) Montrer que l’équation f (x) = x admet au plus une solution.
2) Soit (u n ) définie par u 0 ∈ C et ∀n ∈ N , u n+1 = f (u n ).
2.a) Montrer que ∀n ∈ N, |u n+1 − u n |
k
1 − k
n
|u 1 − u 0 | .
2.b) Montrer que la suite (u n ) est convergente. On note sa limite. Montrer que
f () = .
1) Soit (x, y) ∈ C
2 . Si l’on a f (x) = x et f (y) = y, alors
|x − y| = | f (x) − f (y)| k(| f (x) − x| + | f (y) − y|) = 0 , et donc x = y.
2.a) • Montrons l’inégalité demandée. Pour n 1, on a
|u n+1 − u n | = | f (u n ) − f (u n−1 )| k(| f (u n ) − u n | + | f (u n−1 ) − u n−1 |) , donc
|u n+1 − u n | k(|u n+1 − u n | + |u n − u n−1 |) , d’où
|u n+1 − u n |
k
1 − k
|u n − u n−1 | .
On en déduit par récurrence que, pour tout n 0, |u n+1 −u n |
k
1 − k
n
|u 1 −u 0 | .
2.b) Montrons que la suite (u n ) est convergente. Comme 0 < k < 1/2, on a
0 <
k
1 − k
< 1, et la série géométrique de terme général
k
1 − k
n
|u 1 − u 0 |
converge. Donc la série de terme général u n+1 − u n converge, et comme c’est une
série télescopique, cela équivaut au fait que la suite (u n ) converge.
Appelons la limite de la suite (u n ) n .
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