120 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
2) En intégrant et à l’aide de la relation de Chasles, on obtient pour x ∈ R
+ ,
F(x) =
x
0
w(t)dt =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
2(1 − e
−x )
s ix ∈ [0, ln 2]
1 + (x − ln 2)
si x ∈ [ln 2, 2]
(x − 1)
3
3
+ 3 − ln 2 −
1
3
si x ∈ [2, +∞[
.
F est de classe C
1 sur R
+ car c’est une primitive d’une fonction continue.
3) F s’obtient en primitivant chaque coefficient de la matrice, pour tout x ∈ R
+ ,
F(x) =
x
0
M(t)dt =
⎛
⎜
⎜
⎝
x
0
2e
−t dt
x
0
(t − 1)
2 dt
x
0
1dt
x
0
0dt
⎞
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
2(1 − e
−x )
(x − 1)
3
3
+
1
3
x
0
⎞
⎟
⎠ .
La propriété N (F(x)) = N
x
0
M(t)dt
x
0
N (M(t))dt = F(x) nous donne
le résultat.
Exercice 5.28
CCP PSI 2005
Soit n ∈ N
∗ et K l’ensemble des polynômes réels unitaires de degré n. Montrer
que inf
P∈K
1
0
|P|
> 0.
Indication de la rédaction : on introduira la norme infinie sur R n [x].
L’espace vectoriel R n [X ] est de dimension finie. La norme . ∞ et la norme . 1 sont
équivalentes. Il existe donc C > 0 tel que pour tout P ∈ R n [X ], P 1 C P ∞ .
Si P ∈ K , alors P ∞ 1 (car P est unitaire de degré n) donc P 1 C. Il vient
inf
P∈K
{
1
0
|P|} C > 0.
Exercice 5.29
Mines-Ponts PSI 2006
Soit n un entier supérieur ou égal à 2, et soit A une matrice antisymétrique de
M n (R). Montrer que si la suite ( A
p ) converge, alors sa limite est la matrice nulle.