5.2 Exercices d’entraînement 119
Exercice 5.27
CCP PC 2006
On note M la fonction vectorielle définie sur R
+ par M(t) =
2e
−t (t − 1)
2
1
0
.
1) Pour A = (a i j ) ∈ M 2 (R), on pose N (A) = sup |a i j | .
1.a) Montrer que N est une norme sur M 2 (R).
1.b) On pose, pour tout t ∈ R
+ , w(t) = N (M(t)). Déterminer pour t ∈ R
+ , la
valeur de w(t). Montrer que w est continue et de classe C
∞ par morceaux
sur R
+ . La fonction w est-elle de classe C
1 sur R
+ ?
2) Soit F la primitive de w qui s’annule en 0. Calculer pour t ∈ R
+ , la valeur de
F(t). La fonction F est-elle de classe C
1 sur R
+ ?
3) Déterminer la primitive F de M sur R
+ qui s’annule en 0 puis montrer que
pour tout t ∈ R
+ , N (F(t)) F(t).
1. a) On vérifie sans difficulté que N est une norme sur M 2 (R).
1.b. Pour tout t ∈ R
+ , on a N (M(t)) = max(2e
−t , (1 − t)
2 , 1).
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
1
2
3
4
Une étude simple de w montre que w(t) =
⎧
⎨
⎩
2e
−t
si t ∈ [0, ln 2]
1
sit ∈ [ln 2, 2]
(t − 1)
2
si t ∈ [2, +∞[
. Comme
lim
t→
<
ln 2
w(t) = lim
t→
>
ln 2
w(t), w est continue au point t = ln 2. On vérifie de même de
même que lim
t→
<
2
w(t) = lim
t→
>
2
w(t) et donc w est continue au point x = 2. Comme elle
est continue sur chacun des intervalles [0, ln 2], [ln 2, 2] et [2, +∞[, elle est donc
continue sur R
+ .
Sur chacun des trois intervalles considérés, w est la restriction de fonctions de
classe C
∞ sur R, donc w est de classe C
∞ par morceaux sur R
+ . En revanche,
w
g (ln 2) = −1 et w
d (ln 2) = 0 donc w n’est pas dérivable en ln 2 donc n’est pas
de classe C
1 sur R
+ .
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