118 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
Exercice 5.25
1) On considère l’application A de R dans M 2 (R) définie par
∀t ∈ R, A(t) =
ch(t)
sh(t)
− sh(t) − ch(t)
.
Montrer que A est de classe C
1 et que pour tout t ∈ R, A(t)
2 = I 2 .
2) Soient n ∈ N
∗ et M : t → M(t) une application de classe C
1 de R dans M n (C)
telle que M(t)
2 = I n pour tout t ∈ R. Montrer que M(t)M
(t) = −M
(t)M(t)
pour tout t ∈ R et en déduire que la trace de M(t) est constante.
1) Les coefficients de A sont des fonctions de classe C
1 sur R. Il en résulte que A
est de classe C
1 , et on vérifie facilement par le calcul que A(t)
2 = I 2 .
2) En dérivant, on obtient M
(t)M(t) + M(t)M
(t) = 0. Il vient 2 tr(M(t)M
(t)) = 0
mais on reste bloqué. Pour tout t ∈ R, M(t) est inversible et le relation permet d’écrire M
(t) = − (M(t))
−1 M
(t)M(t). En passant à la trace, il vient :
tr(M
(t)) = − tr(M
(t)) donc tr(M
(t)) = 0. L’application w :
R −→
R
t −→ tr(M(t))
est de classe C
1 et pour tout t ∈ R, w
(t) = tr(M
(t)). Donc pour tout t ∈ R,
w
(t) = 0, w est constante.
5.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT
Exercice 5.26
CCP PC 2004
Soit M une application définie sur R à valeurs dans O 3 (R) telle que M(0) = I 3 .
1) En supposant M dérivable en 0, montrer que M
(0) est antisymétrique.
2) Montrer que pour tout t ∈ R, M(t) est la matrice d’une rotation vectorielle.
Indication de la rédaction : on utilisera la continuité de l’application déterminant.
1) On a pour tout t ∈ R,
t M(t)M(t) = I 3 donc en dérivant en 0, on obtient
t M
(0)M(0) +
t M(0)M
(0) = 0.
Compte tenu de ce que M(0) = I 3 , on a M
(0) = −
t
M
(0).
2) L’application f : t ∈ R → det M(t) ∈ {−1, 1} est continue sur un intervalle.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, son image est un intervalle et comme
f (0) = 1, f est constante égale à 1.
Pour tout t ∈ R, det M(t) = 1 et M(t) ∈ O 3 (R) donc M(t) est la matrice d’une
rotation vectorielle.