5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 117
Soit F un espace vectoriel de dimension finie sur K (=R ou C). Soit (e i ) i∈[[1, p]]
une base de F. Soit f une fonction continue par morceaux de [a, b] dans F. En
écrivant f =
p
k=1
f k e k , on définit
[a,b]
f =
b
a
f (t)dt =
b
a
f =
p
k=1
b
a
f k (t)dt
e k ∈ F
L’ intégrale de f sur [a, b] est indépendante de la base choisie.
Parmi les propriétés uselles de l’intégrale, il est important de retenir que si · ·
est une norme sur F alors
b
a
f
b
a
f .
Exercice 5.24
Soient a, b ∈ R avec a < b, f et g deux fonctions continues sur [a, b], de classe
C
1 sur ]a, b[ et :
D : [a, b] −→
R
x
−→
f (a) f (b) f (x)
g(a) g(b) g(x)
1
1
1
En utilisant l’application D, montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que
(g(b) − g(a)) f
(c) = ( f (b) − f (a))g
(c).
Rappelons que le déterminant est une forme n-linéaire (ici n = 3) par rapport à ses
colonnes. Ici seule la dernière dépend de x donc D est de classe C
1 et pour tout
x ∈ ]a, b[
D
(x) =
f (a) f (b) f
(x)
g(a) g(b) g
(x)
1
1
0
. De plus, remarquons que D(a) = D(b) donc, par le
théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que D
(c) = 0, ce qui donne la conclusion
de l’énoncé.
Remarque
si g
ne s’annule pas sur ]a, b[, on obtient l’existence de c ∈ ]a, b[ tel que
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
(c)
g (c)
.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Soit F un espace vectoriel de dimension finie sur K (=R ou C). Soit (e i ) i∈[[1, p]]
une base de F. Soit f une fonction continue par morceaux de [a, b] dans F. En
écrivant f =
p
k=1
f k e k , on définit
[a,b]
f =
b
a
f (t)dt =
b
a
f =
p
k=1
b
a
f k (t)dt
e k ∈ F
L’ intégrale de f sur [a, b] est indépendante de la base choisie.
Parmi les propriétés uselles de l’intégrale, il est important de retenir que si · ·
est une norme sur F alors
b
a
f
b
a
f .
Exercice 5.24
Soient a, b ∈ R avec a < b, f et g deux fonctions continues sur [a, b], de classe
C
1 sur ]a, b[ et :
D : [a, b] −→
R
x
−→
f (a) f (b) f (x)
g(a) g(b) g(x)
1
1
1
En utilisant l’application D, montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que
(g(b) − g(a)) f
(c) = ( f (b) − f (a))g
(c).
Rappelons que le déterminant est une forme n-linéaire (ici n = 3) par rapport à ses
colonnes. Ici seule la dernière dépend de x donc D est de classe C
1 et pour tout
x ∈ ]a, b[
D
(x) =
f (a) f (b) f
(x)
g(a) g(b) g
(x)
1
1
0
. De plus, remarquons que D(a) = D(b) donc, par le
théorème de Rolle, il existe c ∈ ]a, b[ tel que D
(c) = 0, ce qui donne la conclusion
de l’énoncé.
Remarque
si g
ne s’annule pas sur ]a, b[, on obtient l’existence de c ∈ ]a, b[ tel que
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
=
f
(c)
g (c)
.
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