116 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
Remarque
Si n = 2 ou n = 3, la dérivée s’interprète comme le vecteur vitesse de la courbe
paramétrée t → f (t). Ce vecteur donne la direction de la tangente et sa norme
la vitesse instantanée.
• L’ensemble D (I ,E) des applications dérivables de I dans E est un sous-espace
vectoriel de C (I , E) , et f → f
est une application linéaire de D (I ,E) dans
F (I ,E), (l f + mg)
= l f
+ mg
.
• Soit f ∈ D (I , R) telle que f (I ) ⊂ J et soit g ∈ D (J ,E), alors g◦ f ∈ D (I ,E)
et (g ◦ f )
= f
×
g
◦ f
.
• Soient E, F et G trois espaces vectoriels normés de dimension finie. Soit w :
E × F → G une application bilinéaire, f ∈ D (I ,E) et g ∈ D (I , F) .
Alors w ( f , g) ∈ D (I ,G) et (w ( f , g))
= w
f
, g
+ w
f , g
.
On rappelle, qu’en dimension finie, toute application bilinéaire est continue.
Application pour tous les produits classiques
si l : I → R et g : I → E alors (lg)
= l
g + lg
.
si f , g : I → E alors (< f , g >)
=< f
, g >+ < f , g
> où < ·,· > désigne un
produit scalaire sur un espace préhilbertien E.
si f , g : I → R
2 alors (Det( f , g))
= Det( f
, g) + Det( f , g
).
si f , g : I → R
3 alors ( f ∧ g)
= f
∧g + f ∧g
.
• On peut généraliser le résultat à des applications m-linéaires. Par exemple, pour
f , g, h ∈ D (I , R
3 ) :
(Det( f , g, h))
= Det( f
, g, h) + Det( f , g
, h) + Det( f , g, h
).
• Soient f ∈ D (I ,E) et g ∈ D (I , R) partout non nulle, alors
1
g
f ∈ D (I , E) et
1
g
f
=
1
g 2 ×
g f
− g
f
.
• Si f ∈ D (I ,E) et u ∈ L (E,F), alors u ◦ f ∈ D (I ,F) et (u ◦ f )
= u ◦ f
.
On définit alors les fonctions de classe C
k , on notera en particulier la formule de
Leibniz : pour tout f ∈ C
k (I ,E) et g ∈ C
k (I , F) et w bilinéaire,
w( f , g)
(k) =
k
p=0
k
p
w( f
( p) , g
(k− p) ).
2) Intégration sur un segment d’une fonction vectorielle
Soit f = ( f 1 , · · · , f n ) : [a, b] → R
n une fonction continue, on définit l’intégrale
de f par
b
a
f (t)dt =
b
a
f 1 (t)dt, · · · ,
b
a
f n (t)dt
.