5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 115
• Cas de la norme ∞ . Soit M ∈ M n (R) telle que M ∞ 1. On a alors
|tr M| =
n
i=1
m ii
n
i=1
|m ii | n donc ||| tr ||| n. Mais |tr I n | = n et I n ∞ = 1
donc ||| tr ||| n et finalement ||| tr ||| = n.
• Cas de la norme 1 . De même, soit M ∈ M n (R) telle que M 1 1 alors
|tr M| =
n
i=1
m ii
(i, j)∈[[1,n]] 2
|m i j | 1 donc ||| tr ||| 1. Mais
tr
1
n
I n
= 1 et
1
n
I n
1
= 1 donc ||| tr ||| 1 et finalement ||| tr ||| = 1.
• Cas de la norme 2 . Soit M ∈ M n (R) telle que M 2 1 alors
|tr M| =
n
i=1
m ii
n
i=1
|m ii | .
L’inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne
n
i=1
|m ii | × 1
√
n
n
i=1
|m ii |
2
√
n
(i, j)∈[[1,n]] 2
m 2
i j
√
n
donc ||| tr |||
√
n. Mais
tr
1
√
n
I n
=
√
n et
1
√
n
I n
2
= 1 donc ||| tr |||
√
n et
finalement ||| tr ||| =
√
n.
5.1.11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs vectorielles
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie n.
1) Dérivation d’une fonction à valeurs dans E
Soient I un intervalle non trivial de R, f : I → E et t 0 ∈ I .
• On dit que f est dérivable en t 0 lorsque lim
t→t 0 ,t∈I \t 0
1
t − t 0
[ f (t) − f (t 0 )] existe.
Si cette limite existe, elle est notée f
(t 0 ) et appelée dérivée de f en t 0 .
• On dit que f est dérivable sur I lorsque elle est dérivable en tout point de I .
• Si f 1 , · · · , f n sont les applications coordonnées dans une base donnée (e i ) i∈[[1,n]]
de E, alors f est dérivable en t 0 si et seulement si chacune des f i est dérivable en
t 0 et f
(t 0 ) =
n
i=1
f
i (t 0 )e i .
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