114 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
2. L’application f : x → →u(x) est continue sur E, donc l’image du compact S par
f est un compact de R. Par conséquent, A = f (S) est borné.
3. • On peut donc définir |||u||| = sup{{u(x) | x ∈ S}. Montrons que |||·||| est une
norme sur L (E).
Soient (u, v) ∈ (L (E))
2 et l ∈ K,
|||lu||| = sup{{lu(x) | x ∈ S} = |l| sup{{u(x) | x ∈ S} = |l| |||u|||.
|||u + v||| = sup{{u(x) + v(x) | x ∈ S}, or pour tout x ∈ S,
u(x) + v(x) u(x) + v(x) |||u||| + |||v|||
donc en passant au sup, il vient |||u + v||| |||u||| + |||v|||.
Supposons enfin que |||u||| = sup{{u(x) | x ∈ S} = 0. On a alors, pour tout
x ∈ S, u(x) = 0. Si x ∈ E \ {0 E }, alors u(x) = x u
1
x
x
= 0. Comme de
plus u(0 E ) = 0 on a u = 0.
• Soit u ∈ L (E). Pour tout x ∈ E \ {0 E }, de u(x) = x u
1
x
x
, on déduit
u(x) =
u
1
x
x
x |||u||||x.
L’inégalité reste bien sûr vraie pour x = 0 E .
• Soit (u, v) ∈ (L (E))
2 . On a |||v ◦ u||| = sup{{v(u(x)) , x ∈ S}.
Pour tout x ∈ S, v(u(x)) |||v||||u(x) |||v||| · |||u||| |x = |||v||| · |||u|||
donc en passant au sup, il vient |||v ◦ u||| |||v|||·|||u|||.
Ce qu’il faut savoir
Pour déterminer la norme triple d’une application linéaire u ∈ L (E, F), on
procède ainsi :
i) On détermine une constante M telle que, pour tout x ∈ E, on a u(x) Mx,
en effectuant les majorations les plus précises possibles. Cela entraîne |||u||| M.
ii) Pour montrer que M = |||u|||, on cherche x 0 ∈ E non nul, tel que
u(x 0 ) = Mx 0 .
Exercice 5.23
On pose, pour M = (m i j ) ∈ M n (R),
M 1 =
(i, j)∈[[1,n]] 2
|m i j | , M 2 =
(i, j)∈[[1,n]] 2
m 2
i j et M ∞ = sup
(i, j)∈[[1,n]] 2
|m i j | .
Déterminer la norme subordonnée de l’application trace pour chacune de ces
normes.