5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 113
L’application k ∈ K → →x − k est continue sur le compact K donc est bornée
et atteint ses bornes. En particulier, la borne inférieure est atteinte et il existe donc
k 0 ∈ K tel que d(x, K ) = x − k 0 .
5.1.10 Norme subordonnée (spécifique à la filière PSI)
La notion de norme subordonnée est spécifique à la filière PSI. Elle est cependant
l’objet de nombreux exercices et problèmes de concours dans la filière PC. L’encart
suivant, destiné aux étudiants de la filière PSI pourra donc être lu avec profit par les
étudiants de le filière PC.
Ce qu’il faut savoir
• Soit u ∈ L (E, F). On définit
|||u||| = sup
x E 1
u(x) F = sup
x E =1
u(x) F = sup
x =0
u(x) F
x E
.
On montre que
|||u||| = min{M 0 | ∀x ∈ E, u(x) F Mx E }.
• L’application u → |||u||| est une norme pour L (E, F), on l’appelle norme
subordonnée de u (relative à · · E et · · F ), ou encore norme triple de u.
• S’il existe K > 0 tel que ∀x ∈ E u(x) F K x E alors |||u||| K .
• Soient v ∈ L (F, G) et u ∈ L (E, F) alors
|||v ◦ u||| |||v|||·|||u|||
Exercice 5.22
Question de cours pour PSI, exercice pour PC
Soient E un espace vectoriel normé de dimension finie, S = {x ∈ E | |x = 1} et
u ∈ L (E).
1) Montrer que S est un compact.
2) Montrer que A = {{u(x) | x ∈ S} est borné.
3) On pose |||u||| = sup{{u(x) | x ∈ S}. Montrer que |||·||| est une norme sur
L (E) et que pour tout (u, v) ∈ (L (E))
2 , |||v ◦ u||| |||v|||·|||u|||.
Indication : pour le dernier point, on pourra montrer que pour tout x ∈ E,
u(x) |||u||| |x.
1. S est un ensemble borné (évident) et fermé (si x /
∈ S, B(x, |1 − −x|) ⊂ E \ S,
c’est encore plus évident si l’on dispose de la caractérisation séquentielle des fermés) donc c’est un compact.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
L’application k ∈ K → →x − k est continue sur le compact K donc est bornée
et atteint ses bornes. En particulier, la borne inférieure est atteinte et il existe donc
k 0 ∈ K tel que d(x, K ) = x − k 0 .
5.1.10 Norme subordonnée (spécifique à la filière PSI)
La notion de norme subordonnée est spécifique à la filière PSI. Elle est cependant
l’objet de nombreux exercices et problèmes de concours dans la filière PC. L’encart
suivant, destiné aux étudiants de la filière PSI pourra donc être lu avec profit par les
étudiants de le filière PC.
Ce qu’il faut savoir
• Soit u ∈ L (E, F). On définit
|||u||| = sup
x E 1
u(x) F = sup
x E =1
u(x) F = sup
x =0
u(x) F
x E
.
On montre que
|||u||| = min{M 0 | ∀x ∈ E, u(x) F Mx E }.
• L’application u → |||u||| est une norme pour L (E, F), on l’appelle norme
subordonnée de u (relative à · · E et · · F ), ou encore norme triple de u.
• S’il existe K > 0 tel que ∀x ∈ E u(x) F K x E alors |||u||| K .
• Soient v ∈ L (F, G) et u ∈ L (E, F) alors
|||v ◦ u||| |||v|||·|||u|||
Exercice 5.22
Question de cours pour PSI, exercice pour PC
Soient E un espace vectoriel normé de dimension finie, S = {x ∈ E | |x = 1} et
u ∈ L (E).
1) Montrer que S est un compact.
2) Montrer que A = {{u(x) | x ∈ S} est borné.
3) On pose |||u||| = sup{{u(x) | x ∈ S}. Montrer que |||·||| est une norme sur
L (E) et que pour tout (u, v) ∈ (L (E))
2 , |||v ◦ u||| |||v|||·|||u|||.
Indication : pour le dernier point, on pourra montrer que pour tout x ∈ E,
u(x) |||u||| |x.
1. S est un ensemble borné (évident) et fermé (si x /
∈ S, B(x, |1 − −x|) ⊂ E \ S,
c’est encore plus évident si l’on dispose de la caractérisation séquentielle des fermés) donc c’est un compact.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit