112 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
Exercice 5.19
Les ensembles A = {(x, y) ∈ R
2 , y = x sin x et |y| 1} et B = {(x, y) ∈ R
2 ,
x
2 + x y + y
2
1} sont-ils des compacts de E ?
• La suite ((x n , y n )) = ((2np, 0)) ∈ A montre que A n’est pas borné, donc l’ensemble
A n’est pas compact.
Remarque pour la filière PSI
L’ensemble A est fermé, en tant qu’intersection du fermé {(x, x sin x), x ∈ R}
(voir exercice 5.15] et du fermé R × [−1, 1].
• Pour montrer que l’ensemble B est fermé, on peut utiliser la caractérisation séquentielle d’un fermé (voir exercice 5.11), ou bien remarquer que B = F
−1 (] − ∞, 1])
où F est l’application continue définie sur R
2 par F(x, y) = x
2 + x y + y
2 . Il est aussi
borné (voir exercice 5.6 page 101, |x| 1 +
1
√
3
et |y|
2
√
3
) donc B est compact.
(C’est le domaine limité par une ellipse.)
Exercice 5.20
Soit n 2. Montrer que l’ensemble des matrices orthogonales O n (R) est un
compact de M n (R) .
Indication : On rappelle que O n (R) est l’ensemble des matrices M telles que
t M M = I n .
Soit une suite (M k ) k∈N ∈ O n (R)
N convergeant vers M. On déduit de la continuité de
l’application M →
t M M sur M n (R), que
t M k M k →
k→+∞
t M M. Or, pour tout k ∈ N,
t M k M k = I n donc
t M M = I n .
L’ensemble O n (R) est stable par limite, donc O n (R) est un fermé de M n (R)
(voir exercice 5.11 p.105). De plus, tous les coefficients d’une matrice orthogonale
sont dans [−1, 1] (car les colonnes sont de norme 1 pour la norme euclidienne
usuelle) donc, en considérant la norme ∞ définie pour tout M = (m i, j ) par
M ∞ = sup
i, j
|m i, j | , il vient pour tout M ∈ O n (R) , M ∞ 1 donc O n (R) est
un ensemble borné de M n (R) (pour n’importe quelle norme car elles sont toutes
équivalentes) donc O n (R) est un compact de M n (R) .
Exercice 5.21
Soit K un compact d’un espace vectoriel normé E de dimension finie. Pour
x ∈ E, on note d(x, K ) = inf
k∈K
x − k .
Montrer qu’il existe k 0 ∈ K tel que d(x, K ) = x − k 0 .