5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 111
5.1.8 Suites de Cauchy (filière PSI uniquement)
Ce qu’il faut savoir
Soit
E, · ·
un espace vectoriel normé de dimension finie et (x n ) n∈N une suite
d’éléments dans E.
• On dit que la suite (x n ) est de Cauchy lorsque :
∀´ > 0, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, ∀ p ∈ N, (n N et p N ) ⇒ ⇒x n − x p ´
• Une suite (x n ) est de Cauchy si et seulement si elle est convergente.
Exercice 5.18
Mines-Ponts PSI 2004
Soit (u n ) n∈N ∗ une suite réelle vérifiant ∀n ∈ N
∗ , |u n+1 − u n | <
1
n
. (u n ) n∈N estelle une suite de Cauchy ?
Pas nécessairement, on peut le voir en posant u n =
1
2
n−1
k=1
1
k
pour n 2 et u 1 = 0.
On a |u n+1 − u n | =
1
2n
<
1
n
pour n ∈ N
∗ mais la suite (u n ) n∈N ∗ diverge (série
harmonique) donc elle ne peut pas être de Cauchy sinon elle convergerait.
5.1.9 Compacité
Ce qu’il faut savoir
Soit (E, · ·) un espace vectoriel normé de dimension finie, et soit A une partie
non vide de E.
• On dit que la partie A est un compact de E lorsqu’elle est fermée et bornée.
• Image d’un compact par une application continue
◦ Soit F un espace vectoriel de dimension finie et soit f une application de A
dans F. Si A est un compact de E et si f est continue sur A, alors f ( A) est un
compact de F.
◦ Cas particulier très important des fonctions à valeurs réelles
Si A est un compact de E et si f : A → R est continue sur A, alors f est bornée
et atteint ses bornes : plus précisément il existe c et d dans A, tels que
sup
x∈A
f (x) = f (c) et inf
x∈A
f (x) = f (d).
Ce résultat est utilisé pour la recherche d’extremum, voir chapitre 14.
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