110 Chap. 5. Espaces vectoriels normés
• Toute application bilinéaire B de E × F dans G est continue. De plus, il existe
M > 0 tel que pour tout (x, y) ∈ E × F, B(x, y) G M x E y F .
Exercice 5.16
Soit (A, B) ∈ M n (K)
2 et soit (M p ) p∈N une suite de M n (K) qui converge vers
M. Montrer que la suite (AM p B) p∈N converge vers AM B.
L’application qui à X ∈ M n (K) associe AX B ∈ M n (K) est linéaire, elle est donc
continue. Il en résulte que A
lim M p
p→+∞
B = AM B.
Exercice 5.17
Soit (E, .) un K-espace vectoriel normé de dimension finie, et F un sousespace vectoriel de E.
1) Montrer que F est fermé. On pourra considérer un supplémentaire G de F et
la projection vectorielle sur G parallèlement à F.
2) Soit x 0 un élément de E. Montrer que le sous-espace affine A = x 0 + F est
fermé.
1) Démonstration pour la filière PC : nous allons démontrer que le complémentaire
de F est ouvert, c’est-à-dire que pour tout élément a qui n’appartient pas à F, il existe
une boule ouverte de centre a qui ne rencontre pas F. Utilisons l’indication : soit G
un supplémentaire de F, et soit p le projecteur sur G, parallèlement à F. Si a est
un élément de E qui n’appartient pas à F, alors b = p(a) = 0 E . Puisque p est une
application linéaire, on sait qu’il existe M ∈ R
∗
+ tel que p(x − y) Mx − y
pour tout (x, y) ∈ E
2 . En particulier, avec x = a et y ∈ F, on a p(a − y) = b et
donc b Ma − y. On a donc a − y
b
M
pour tout y ∈ F, ce qui démontre
que la boule ouverte de centre a et de rayon
b
M
ne rencontre pas F.
Démonstration pour la filière PSI : soit G un supplémentaire de F et p la projection
sur F parallèlement à G. On sait que F = {x ∈ E, p(x) = x}. On considère
l’application w définie sur E, par w(x) = x − p(x). Comme E est de dimension
finie, l’application linéaire x → x − p(x) est continue sur E. En outre, la norme est
application continue (car 1-lipschitzienne), donc w est continue sur E. Le singleton
{0} est fermé dans R, donc F = w
−1 ({0}) est un fermé de E.
2) Si a est un élément de E qui n’appartient pas à A, a − x 0 n’appartient pas à F, et
on a démontré dans la question précédente qu’il existe une boule ouverte de centre
a − x 0 et de rayon r qui ne rencontre pas F. Mais alors la boule ouverte translatée,
de centre a et de rayon r ne rencontre pas A. Le sous-espace affine A est donc fermé.
• Toute application bilinéaire B de E × F dans G est continue. De plus, il existe
M > 0 tel que pour tout (x, y) ∈ E × F, B(x, y) G M x E y F .
Exercice 5.16
Soit (A, B) ∈ M n (K)
2 et soit (M p ) p∈N une suite de M n (K) qui converge vers
M. Montrer que la suite (AM p B) p∈N converge vers AM B.
L’application qui à X ∈ M n (K) associe AX B ∈ M n (K) est linéaire, elle est donc
continue. Il en résulte que A
lim M p
p→+∞
B = AM B.
Exercice 5.17
Soit (E, .) un K-espace vectoriel normé de dimension finie, et F un sousespace vectoriel de E.
1) Montrer que F est fermé. On pourra considérer un supplémentaire G de F et
la projection vectorielle sur G parallèlement à F.
2) Soit x 0 un élément de E. Montrer que le sous-espace affine A = x 0 + F est
fermé.
1) Démonstration pour la filière PC : nous allons démontrer que le complémentaire
de F est ouvert, c’est-à-dire que pour tout élément a qui n’appartient pas à F, il existe
une boule ouverte de centre a qui ne rencontre pas F. Utilisons l’indication : soit G
un supplémentaire de F, et soit p le projecteur sur G, parallèlement à F. Si a est
un élément de E qui n’appartient pas à F, alors b = p(a) = 0 E . Puisque p est une
application linéaire, on sait qu’il existe M ∈ R
∗
+ tel que p(x − y) Mx − y
pour tout (x, y) ∈ E
2 . En particulier, avec x = a et y ∈ F, on a p(a − y) = b et
donc b Ma − y. On a donc a − y
b
M
pour tout y ∈ F, ce qui démontre
que la boule ouverte de centre a et de rayon
b
M
ne rencontre pas F.
Démonstration pour la filière PSI : soit G un supplémentaire de F et p la projection
sur F parallèlement à G. On sait que F = {x ∈ E, p(x) = x}. On considère
l’application w définie sur E, par w(x) = x − p(x). Comme E est de dimension
finie, l’application linéaire x → x − p(x) est continue sur E. En outre, la norme est
application continue (car 1-lipschitzienne), donc w est continue sur E. Le singleton
{0} est fermé dans R, donc F = w
−1 ({0}) est un fermé de E.
2) Si a est un élément de E qui n’appartient pas à A, a − x 0 n’appartient pas à F, et
on a démontré dans la question précédente qu’il existe une boule ouverte de centre
a − x 0 et de rayon r qui ne rencontre pas F. Mais alors la boule ouverte translatée,
de centre a et de rayon r ne rencontre pas A. Le sous-espace affine A est donc fermé.