5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 109
5.1.6 Image réciproque d’un ouvert ou d’un fermé
par une application continue (filière PSI uniquement )
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Si f : E → K est une
application continue sur E, alors l’image réciproque par f d’un ouvert (resp.
fermé) de K est un ouvert (resp. fermé) de E.
Ce théorème permet de reconnaître facilement des ensembles ouverts ou fermés.
Exercice 5.15
1) Soient E est un espace vectoriel normé de dimension finie, f : E → R une
application continue et a ∈ R. Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou
fermés :
A = {x ∈ E | f (x) = a}, B = {x ∈ E | f (x) a}, C = {x ∈ E | f (x) = a},
D = {x ∈ E | f (x) < a}.
2) Montrer que GL n (K) est ouvert dans M n (K) .
3) Soit f une fonction continue de R dans R. Montrer que son graphe
G = {(x, f (x)) | x ∈ R} est fermé dans R
2 .
1. A = {x ∈ E | f (x) = a} = f
−1 ({a}) est l’image réciproque d’un fermé par une
application continue. Il est donc fermé.
De même B = {x ∈ E | f (x) a} = f
−1 (] − ∞, a]) est fermé.
C = {x ∈ E | f (x) = a} = f
−1 (R \ {a}) est l’image réciproque d’un
ouvert par une application continue. C’est donc une partie onverte. De même
{x ∈ E | f (x) < a} = f
−1 (] − ∞, a[) est une partie ouverte de E.
2. GL n (K) est un ouvert de M n (K) car c’est l’image réciproque de l’ouvert K
∗ par
l’application M → det (M) qui est continue. (C’est une fonction polynômiale des
coefficients de M).
3. La courbe représentative de f dans R
2 est un fermé de R
2 car c’est l’image réciproque de {0} par l’application continue (x, y) → y − f (x).
5.1.7 Applications linéaires continues, normes subordonnées,
applications bilinéaires
Ce qu’il faut savoir
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie.
• Toute application linéaire u ∈ L (E, F) est continue. De plus, il existe M 0
tel que pour tout x ∈ E, u(x) F M x E .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
5.1.6 Image réciproque d’un ouvert ou d’un fermé
par une application continue (filière PSI uniquement )
Ce qu’il faut savoir
Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Si f : E → K est une
application continue sur E, alors l’image réciproque par f d’un ouvert (resp.
fermé) de K est un ouvert (resp. fermé) de E.
Ce théorème permet de reconnaître facilement des ensembles ouverts ou fermés.
Exercice 5.15
1) Soient E est un espace vectoriel normé de dimension finie, f : E → R une
application continue et a ∈ R. Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou
fermés :
A = {x ∈ E | f (x) = a}, B = {x ∈ E | f (x) a}, C = {x ∈ E | f (x) = a},
D = {x ∈ E | f (x) < a}.
2) Montrer que GL n (K) est ouvert dans M n (K) .
3) Soit f une fonction continue de R dans R. Montrer que son graphe
G = {(x, f (x)) | x ∈ R} est fermé dans R
2 .
1. A = {x ∈ E | f (x) = a} = f
−1 ({a}) est l’image réciproque d’un fermé par une
application continue. Il est donc fermé.
De même B = {x ∈ E | f (x) a} = f
−1 (] − ∞, a]) est fermé.
C = {x ∈ E | f (x) = a} = f
−1 (R \ {a}) est l’image réciproque d’un
ouvert par une application continue. C’est donc une partie onverte. De même
{x ∈ E | f (x) < a} = f
−1 (] − ∞, a[) est une partie ouverte de E.
2. GL n (K) est un ouvert de M n (K) car c’est l’image réciproque de l’ouvert K
∗ par
l’application M → det (M) qui est continue. (C’est une fonction polynômiale des
coefficients de M).
3. La courbe représentative de f dans R
2 est un fermé de R
2 car c’est l’image réciproque de {0} par l’application continue (x, y) → y − f (x).
5.1.7 Applications linéaires continues, normes subordonnées,
applications bilinéaires
Ce qu’il faut savoir
Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie.
• Toute application linéaire u ∈ L (E, F) est continue. De plus, il existe M 0
tel que pour tout x ∈ E, u(x) F M x E .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit